Paseo aleatorio simétrico simple : $P_{00}^{2n}=\binom{2n}{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}$

Question

Estaba estudiando Simple Symmetric Random Walks y mis apuntes dicen (sin pruebas) que $$P_{00}^{2n}=\binom{2n}{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}$$ Es decir, la probabilidad de pasar de $0$ a $0$ en $2n$ pasos es el RHS.

Cosas que sé:

• Las VR Simétricas Simples tienen un periodo de 2.
• La probabilidad de ir a la izquierda o a la derecha es igual a $0.5$
• Entiendo que el $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}$ tiene que ver con la $2n$ pasos que doy para volver a $0$ .

Cosas que no sé:

• ¿Dónde está el $\binom{2n}{n}$ ¿De dónde viene?

Answer 1

Sea $\{s_n\}_{n\in\mathbb N}$ sea un camino aleatorio simétrico simple, entonces $s_{2n}=0$ si existe $u,d\in\mathbb N$ ( $u$ =#up-steps, $d$ =#pasos-abajo) tal que $$ \begin{cases} u+d = 2n \\ u-d = 0 \end{cases} \quad\longrightarrow\quad \begin{cases} u = n \\ d = n \end{cases} $$ Ahora bien, puesto que $s_{2n}$ no depende del orden en que se produjeron los pasos ascendentes o descendentes, tiene exactamente $\binom{2n}{n}$ opciones de toma $n$ escalones y $n$ pasos descendentes, cada uno con probabilidad $2^{-2n}$ lo que prueba su resultado.

De forma más general, los mismos razonamientos muestran que si se considera un simple paseo aleatorio $\{s_n\}_{n\in\mathbb N}$ en la que subes con probabilidad $p$ y abajo w.p. $1-p$ tienes $$ \mathbb P(s_n=n-2x) = \binom nxp^x(1-p)^{n-x} $$ para $x=0\ldots n$ .

Answer 2

Existen $2n \choose n$ formas de pasar de 0 a 0 en $2n$ pasos.

Si $n=1$ 2 maneras: 0->-1->0 o 0->-1->0

Si $n=2$ 6 maneras: 0->1->2>1->0, 0->1->0->1,0, y así sucesivamente.

En esencia, se trata de un simple argumento de recuento: de $2n$ que elijas para la dirección de la travesía, podrías elegir exactamente $n$ de ellos por, digamos, moverse en -> dirección. En el resto $n$ pasos, te mueves en dirección <- y llegas a 0 de nuevo en $2n$ pasos.