La siguiente es una pregunta de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y apuntes históricos . He intentado una solución, pero no estoy seguro de dónde me he equivocado.
... esperamos que la velocidad de formación del compuesto sea proporcional al número de colisiones por unidad de tiempo, que a su vez es conjuntamente proporcional al número de sustancias que quedan sin transformar. Consideremos una reacción de segundo orden en la que $x$ gramos del compuesto contienen $ax$ gramos de la primera sustancia y $bx$ g segundo, donde $a+b=1$ . Si hay $aA$ g y $bB$ gramos de la segunda sustancia presente inicialmente, y $bB$ gramos del segundo, y si $x=0$ cuando $t = 0$ encuentra $x$ a del tiempo.
Este es mi intento de solución
$\frac{dx}{dt}=k_1C(A,B)$ donde C es una función que te da el número de colisiones en función de las cantidades de A y B.
$C(A,B) = k_2(A(x)+B(x))$ Donde A(x) B(x) son las cantidades de A y B que quedan en función de cuánto se forme x
$A(x) = aA -ax$ y $B(x)=(1-a)B-(1-a)x$
Trabajando de vuelta a la pila da:
$C(A,B)=k_2(aA-ax+(1-a)B-(1-a)x)$
$C(A,B)=k_2(aA+B(1-a)-x$
$\frac{dx}{dt}=k_1(k_2(aA+B(1-a)-x))$
Y entonces resuelvo:
$\frac{dx}{aA+B(1-a)-x}=k_1k_2dt$
$-ln(aA+B(1-a)-x)=k_1k_2t + c$
$aA+B(1-a)-x=\frac{1}{ce^{k_1k_2t}}$
$x = aA+B(1-A)-\frac{1}{ce^{k_1k_2t}}$
Realmente no sé qué hacer a partir de aquí, porque no estoy seguro de haberlo hecho bien....¿Parecen correctos los pasos dados hasta aquí? Cuando resuelvo las condiciones iniciales no obtengo la misma respuesta que en la contraportada del libro.
