¿Son ciertos estos refuerzos de Serre-Swan y Gelfand-Naimark?

Question

Sea $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff.

• El teorema de Serre-Swan nos permite identificar haces vectoriales complejos con módulos proyectivos finitamente generados sobre el anillo $C(X;\mathbb{C})$ de funciones de valor complejo en $X$ .
• El teorema de Gelfand-Naimark nos dice que $X$ está determinada hasta el homeomorfismo por el álgebra C $C(X;\mathbb{C})$ .
• El teorema de Gelfand-Kolmogorov dice que $X$ está determinada hasta el homeomorfismo por el $\mathbb{R}$ -álgebra $C(X;\mathbb{R})$ .

Hay varias cosas que me molestan.

• Teniendo en cuenta cuántas funciones admite un espacio dado, y considerando que cualquier función está determinada por su comportamiento local en cada punto, me resulta difícil creer que la compacidad sea realmente necesaria.
• La asimetría entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ es sorprendente. ¿Por qué no existe el teorema de Serre-Swan para haces vectoriales reales? ¿Y por qué $C(X;\mathbb{C})$ necesitan más estructura algebraica para recuperar $X$ que $C(X;\mathbb{R})$ ¿lo hace? La búsqueda de un teorema real de Serre-Swan o un teorema complejo de Gelfand-Kolmogorov no me dio nada.

Las consideraciones anteriores me llevan a las siguientes conjeturas. Sea $X$ ser un localmente espacio compacto de Hausdorff.

• Conjetura 1. Los haces vectoriales complejos corresponden a módulos proyectivos sobre el anillo $C(X;\mathbb{C})$ y los haces vectoriales reales corresponden a módulos proyectivos sobre el anillo $C(X;\mathbb{R})$ .
• Conjetura 2. El espacio $X$ está determinada hasta el homeomorfismo por el $\mathbb{C}$ -álgebra $C(X;\mathbb{C})$ así como por el $\mathbb{R}$ -álgebra $C(X;\mathbb{R})$ . Quizás incluso baste con la estructura anular.

Mi pregunta es, por supuesto, si las conjeturas son ciertas o no.

Answer 1

Toma $X=\omega_1$ en la topología del orden. Cualquier función de valor real o complejo sobre ella está acotada, por lo que $C(X)$ y $C(\beta X)$ (aquí $\beta X \simeq \omega_1 +1$ por supuesto) son isomorfas como anillos (y también como álgebras (reales), un isomorfismo de anillos $C(X)$ es siempre un $\Bbb R$ -algebra isomorfismo también; no he estudiado el caso complejo lo suficiente, pero el caso real es clásico). Así que en los espacios de Hausdorff localmente compactos en general no se puede distinguir un espacio de su compactificación (C-S) sólo por la estructura del anillo o del álgebra...

Answer 2

La conjetura 1 es cierta.

El principal contenido técnico de la prueba es que sobre un espacio compacto de Hausdorff, todo haz vectorial real o complejo es un sumando directo de un haz vectorial real o complejo trivial; véase esta pregunta de math.SE (que no tiene una prueba, pero tiene un comentario con un enlace a una prueba).

En $X$ es compacta Hausdorff, la estructura C*-álgebra de $C(X, \mathbb{C})$ puede recuperarse de su $\mathbb{C}$ -por lo que la $\mathbb{C}$ -determina $X$ .

Para ver esto, primero observe que el rango de una función $f : X \to \mathbb{C}$ puede recuperarse considerando su espectro $\sigma(f)$ (el conjunto de $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $f - \lambda$ no es invertible), que sólo depende de la $\mathbb{C}$ -estructura de álgebra. A partir del espectro podemos recuperar la norma como el radio espectral

$$\| f \| = \sup_{\lambda \in \sigma(f)} \| \lambda \|$$

por lo que la norma se puede recuperar a partir de la $\mathbb{C}$ -estructura de álgebra. A continuación, también podemos obtener la estructura * considerando los subespacios de $C(X, \mathbb{C})$ formado por elementos con espectro puramente real resp. puramente imaginario; $C(X, \mathbb{C})$ es siempre la suma directa de éstas, y la estructura * actúa por la identidad sobre el primer bit y por $-1$ en el segundo bit.