Expectativa de la integral estocástica de Itô

Question

$$E\left[\int_0^\infty \left|\int_0^t(W(s))^2 \, dW(s)\right|^{\,2} e^{-t} \, dt\right]$$

No estoy seguro de si, por Isometría de Itô, es posible tirar de la operación de expectativa dentro en la integral debido a la $$e^{-t}$$ plazo.

Se agradece cualquier información.

Answer 1

Sea $X_t = \int_0^t W_s^2 dW_s$ . Desea calcular $C = \mathbb{E}[\int_0^\infty X_t^2 e^{-t} dt]$ . Desde $X_t^2 e^{-t} \geq 0$ por el Teorema de Fubini tenemos \begin{align*} C =& \int_0^\infty \mathbb{E}[X_t^2 e^{-t}] dt \\ =& \int_0^\infty e^{-t} \mathbb{E}\left[\int_0^t W_s^4 ds\right] dt \\ =& \int_0^\infty e^{-t} \int_0^t \mathbb{E}[W_s^4] ds dt \\ =& \int_0^\infty \int_0^t 3e^{-t}s^3 ds dt \\ =& \int_0^\infty t^3 e^{-t} dt \end{align*} donde la segunda igualdad se deduce de la Isometría de Ito y la tercera por otra aplicación de Fubini.