Derivada de la lagrangiana con respecto a la velocidad

Question

Mi pregunta gira en torno a lo siguiente notas de clase en la página $109$ ecuación $(5.1.10)$ .

Atengámonos a $\mathbb{R}^3$ y consideremos una partícula en $3$ -espacio con vector de posición $\mathbf{x} = (x, y, z)$ . Denotemos su velocidad por $\mathbf{v} = \dot{\mathbf{x}} = (\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}).$

Básicamente, tenemos el Lagrangiano que describe la partícula:

\begin{equation} L = -mc^2 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}, \end{equation}

donde $m$ es la masa de la partícula, $c$ es la constante de la velocidad de la luz y $v = |\mathbf{v}| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$ es la velocidad de la partícula. Entonces el autor derivó en las notas:

\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} = -mc^2\left(-\frac{\mathbf{v}}{c^2}\right)\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}. \end{equation}

Mi pregunta es, ¿cómo consiguió el autor la primera igualdad en la derivación?

Sé que puedo hacerlo computando esto:

\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} = \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}, \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}, \frac{\partial L}{\partial \dot{z}}\right). \end{equation}

Pero mi pregunta es más concreta: ¿cómo consiguió el autor la primera igualdad tan rápido? ¿Hay algún truco que se me haya escapado?

Answer 1

Componentes, $\boldsymbol{p}=\partial L/\partial \boldsymbol{v}$ significa $p_i=\partial L/\partial v_i$ para $i=1,2,3$ . Entonces, por ejemplo \begin{equation} \frac{\partial L}{\partial v_1} = \cdots = \gamma mv_1\,, \end{equation} se obtiene la primera componente del momento. Obsérvese que la diferenciación es exactamente la misma para $i=2,3$ . Así que puedes imaginar tomar un atajo haciendo las tres derivadas al mismo tiempo: escribe $v^2\rightarrow \boldsymbol{v}^2$ a continuación, realizar la derivada con respecto a. $\boldsymbol{v}$ como si fuera un escalar.

Answer 2

Utiliza la regla de la cadena y el hecho de que $v^2 = \mathbf v\cdot\mathbf v$ de donde $$\frac{\partial v^2}{\partial\mathbf v} = 2 \mathbf v.$$