Representante coinvariante de la cohomología de espacios homogéneos

Question

Dado un espacio homogéneo compacto $M = K/L$ consideremos su complejo de Rham $(\Omega^*,d)$ . ¿Cualquier clase cohomológica $[\omega] \in ker(d)/im(d)$ contienen un representante $\nu$ que es invariante con respecto a la izquierda $K$ -acción sobre $\Omega^*$ ?

Answer 1

Sí, suponiendo que $K$ es un grupo Lie compacto conectado.

De hecho, fijar $n$ tal que $0\le n\le d={\rm dim}(M)$ . El grupo $K$ actúa sobre el grupo de cohomología integral $H^n(M,\Bbb Z)$ trivialmente, porque $K$ está conectado, mientras que $H^n(M,\Bbb Z)$ es discreta. Por lo tanto, $K$ actúa trivialmente sobre el grupo de cohomología de de Rham

$$H^n_{\rm dR}(M,\Bbb R)=H^n(M,\Bbb R)=H^n(M,\Bbb Z)\otimes_{\Bbb Z} \Bbb R.$$

Considere el punto $x=e\cdot L\in K/L=M$ con estabilizador $L$ . Entonces $L$ actúa sobre el espacio tangente $T_x(M)$ . Desde $L$ es compacta, preserva una forma cuadrática definida positiva en $T_x(M)$ . De ello se deduce que $M$ admite una $K$ -métrica riemanniana invariante $g$ . Por lo tanto, $K$ actúa sobre el espacio vectorial ${\mathcal H}^n(M,g)$ de diferencial armónico $n$ -formas en $M$ con respecto a $g$ .

Desde $M$ es compacta, por un teorema de Hodge una clase de cohomología $\xi\in H^n_{\rm dR}(M,\Bbb R)$ está representado por un único forma armónica $\omega\in {\mathcal H}^n(M,g)$ Véase, por ejemplo, el libro de Jürgen Joost "Riemannian Geometry and Geometric Analysis", teorema 2.2.1. Dado que $K$ actúa trivialmente sobre $H^n_{\rm dR}(M,\Bbb R)$ actúa trivialmente sobre ${\mathcal H}^n(M,g)$ . Así pues, la forma diferencial armónica $\omega$ es un $K$ -representante invariante de $\xi$ .