Digamos que tenemos una función $f\in C^1(\mathbb R^2, \mathbb R^2)$ tal que $\operatorname{div}f=0$ . Según el teorema de la divergencia, el flujo a través de la superficie límite de cualquier región sólida es igual a cero.
Así que para $f(x,y)=(y^2,x^2)$ el flujo a través de la superficie límite en la imagen (perdón por su grosor, por favor trátela como una línea) es cero.
El resultado (si interpreto correctamente el teorema) parece bastante sorprendente.
Parece que también se puede obtener flujo distinto de cero mediante divergencia cero. Por ejemplo, $$g(x,y)=(-\frac{x}{x^2+y^2},-\frac{y}{x^2+y^2})$$ (véase la imagen siguiente) tiene $\operatorname{div}g=0$ pero el flujo es claramente negativo.
La función $g$ no es continua en $(0,0)$ y por lo tanto no $C^1$ .
Mi primera pregunta es: ¿existen otros casos en los que la divergencia sea cero y el flujo no?
La razón por la que pregunto es el ejercicio que me encontré:
C $$\int_{U}F \cdot dS$$ donde $F(x,y)=(y^3, z^3, x^3)$ y $U$ es la esfera unitaria.
No esperaba que el ejercicio fuera realizable mentalmente (simplemente observando que $\operatorname{div}F=0$ y concluyendo que la integral es cero) sin embargo $F$ es claramente $C^1$ por lo que el teorema de la divergencia parece aplicable. Mi segunda pregunta es: ¿estoy pasando algo por alto en el ejercicio?
