Una pregunta sobre la teoría invariante de $GL_n(\mathbb{C})$ .

Question

Sea $\rho$ denotan la representación algebraica irreducible de $GL_n(\mathbb{C})$ con mayor peso $(2,2,\underset{n-2}{\underbrace{0,\dots,0}})$ .

Sea $k\leq n/2$ sea un número entero no negativo. Cómo descomponer en representaciones irreducibles la representación $Sym^k(\rho)$ ?

Más concretamente, me interesa saber si $Sym^k(\rho)$ contiene la representación con mayor peso $(\underset{2k}{\underbrace{2,\dots,2}},\underset{n-2k}{\underbrace{0,\dots,0}})$ y, en caso afirmativo, si la mutiplicidad es igual a uno.

Como observación al margen, la representación $\rho$ tiene una interpretación geométrica importante para mí: es el espacio de los tensores de curvatura, es decir, el tensor de curvatura de cualquier métrica de Riemann sobre $\mathbb{R}^n$ se encuentra en $\rho$ .

Answer 1

El pletísmo $\mathrm{Sym}^k \rho$ contiene la representación irreducible de mayor peso $(2,\ldots,2,0,\ldots,0)$ exactamente una vez. Parece un problema complicado decir mucho sobre sus otros constituyentes irreducibles.

Sea $\Delta^\lambda$ denota el funtor de Schur correspondiente a la partición $\lambda$ y que $E$ ser un $n$ -espacio vectorial complejo. Utilizando polinomios simétricos (u otros métodos) se encuentra

$$\mathrm{Sym}^2 (\mathrm{Sym}^2 E) = \Delta^{(2,2)}E \oplus \mathrm{Sym}^4 E.$$

Por lo tanto

$$ \mathrm{Sym}^k \mathrm{Sym}^2 \mathrm{Sym}^2 E \cong \sum_{r=0}^k \mathrm{Sym}^r (\Delta^{(2,2)}E) \otimes \mathrm{Sym}^{k-r} (\mathrm{Sym}^4 E) .$$

Las representaciones irreducibles contenidas en el $r$ son etiquetados por particiones con un máximo de $2r+(k-r) = k+r$ piezas. Así que para demostrar que $\mathrm{Sym}^k(\Delta^{(2,2)}(E))$ contiene $\Delta^{(2^{2k})}E$ basta con demostrar que $\Delta^{(2^{2k})}E$ aparece en $\mathrm{Sym}^k \mathrm{Sym}^2 \mathrm{Sym}^2 E$ .

Sea $U = \mathrm{Sym}^2 E$ . Existe una suryección canónica

$$ \mathrm{Sym}^k (\mathrm{Sym}^2 U ) \rightarrow \mathrm{Sym}^{2k} U. $$

dada por la correspondencia $(u_1u_1')\ldots (u_ku_k') \in \mathrm{Sym}^k (\mathrm{Sym}^2 U )$ a $u_1u_1'\ldots u_ku_k' \in \mathrm{Sym}^{2k} U$ . Por lo tanto $\mathrm{Sym}^k (\mathrm{Sym}^2 U )$ contiene $ \mathrm{Sym}^{2k} U = \mathrm{Sym}^{2k} (\mathrm{Sym}^2 E)$ . Es bien sabido que

$$ \mathrm{Sym}^{2k} (\mathrm{Sym}^2 E) = \sum_{\lambda} \Delta^{2\lambda}(E) $$

donde la suma es sobre todas las particiones $\lambda$ de $2k$ y $2(\lambda_1,\ldots,\lambda_m) = (2\lambda_1,\ldots, 2\lambda_m)$ . Tomando $\lambda = (1^{2k})$ vemos que $\Delta^{(2^{2k})}E$ aparece.

Queda por demostrar que la multiplicidad de $\Delta^{(2^{2k})}E$ en $\mathrm{Sym}^k (\Delta^{(2,2)}E)$ es $1$ . Trabajamos más de $\mathbb{C}$ por lo que hay una cadena de inclusiones

$$ \mathrm{Sym}^k (\Delta^{(2,2)}(E)) \subseteq \mathrm{Sym}^k (\mathrm{Sym}^2 E \otimes \mathrm{Sym}^2 E) \subseteq (\mathrm{Sym}^2 E)^{\otimes 2k}.$$

Por la regla de Littlewood-Richardson (o la regla de Young, más sencilla), la multiplicidad de $\Delta^{(2^k)}E$ en el lado derecho es $1$ .