Mostrando que $\pi(M \# N) = \pi(M) \ast \pi(N)$ $n$- dimensiones de los colectores $M$,$N$

Question

Problema: Vamos a $M$ $N$ $n$- dimensiones de los colectores, donde $n > 2$. Deje $M \# N$ ser sus conectado suma. Mostrar que $\pi(M \# N) = \pi(M) \ast \pi(N)$.

---

RE-EDITADO en el Intento:

1. Deje $U_2$ $V_2$ dos abiertas, pequeñas bolas de $M$ $N$ a ser eliminado por el receptor de la operación de suma. Deje $p_m \in U_2$$p_n \in V_2$, y, a continuación, deje $U_1 = M - \{p_m\}$$U_2 = N - \{p_n\}$.

2. Ahora podemos ver los conectados suma $M\#N$ como el cociente de la inconexión de la unión de $M$ $N$ por una relación de equivalencia identificación de $U_2 -\{p_m\}$ $V_2-\{p_n\}$ definido por algunos homeomorphism entre los dos. Denotar $W_1$ $W_2$ como las respectivas imágenes de $U_1$ $V_1$ bajo el cociente mapa.

3. Tenemos que $U_2$ $V_2$ están abiertas por la construcción. Además, desde el $M$ $N$ están abiertos, tenemos que $U_1 = M - \{p_m\}$ $V_1 = N - \{p_n\}$ también están abiertas (desde abrir sets con un punto quitado todavía están abiertos).

4. Entonces tenemos la siguiente abra las cubiertas de $M$ $N$ respectivamente:

   $$ M = U_1 \copa U_2 $$ $$ N = V_1 \copa V_2 $$

5. Podemos entonces expresar

   $$ M \# N = \underbrace{W_1}_{\text{open}} \cup \underbrace{W_2}_{\text{open}} $$

   así desde $M \cup N = V_1 \cup U_1$ $W_1$ $W_2$ son sólo las imágenes de $U_1$ $V_1$ bajo el cociente natural mapa se utiliza para definir $M \# N$.

6. Considere la posibilidad de que $W_1 \cap W_2$ es la ruta de acceso conectado desde $W_1 \cap W_2$ es homeomórficos a $U_2 - \{p_m\} \cong V_2 - \{p_n\}$, ambos de los cuales son pinchado discos que la deformación se retracte de a $S^{n-1}$. Desde las esferas de dimensión mayor que $2$ simplemente conectado (de ahí la ruta de acceso conectado), tenemos que $W_1 \cap W_2$ es la ruta de acceso conectados. Esto nos va a permitir posteriormente aplicar Van Kampen a $M \# N = W_1 \cup W_2$.

7. Ahora tenemos que

   $$ U_1 \cap U_2 = U_2 - \{p_n\} \cong W_1 \cap W_2 \cong V_2 - \{p_m\} = V_1 \cap V_2 $$

   por lo que desde arriba se puede decir

   $$ \pi_1(U_1 \cap U_2) \cong \pi(V_1 \cap V_2) \cong \pi(W_1 \cap W_2) \cong \{e\} $$

8. Ahora desde $n > 2$, tenemos que

   $$ \underbrace{\pi_1(U_1) = \pi_1(M - \{p_m\}) \cong \pi_1(M) \cong \pi_1(W_1)}_{\text{la eliminación de un punto de no cambiar de grupo fundamental para $n > 2$}} $$

   y del mismo modo

   $$ \pi_1(V_1) = \pi_1(N - \{p_n\})\cong\pi_1(N) \cong \pi_1(W_2) $$

9. A continuación, la aplicación de Van Kampen en $M \# N = W_1 \cup W_2$ de los rendimientos que

   $$ \pi_1(W_1) \ast_{\pi_1(W_1 \cap W_2)} \pi_1(W_2) \cong \pi_1(M\#N) $$

10. Pero ya que (8) se obtiene que

    $$ \pi_1(W_1) \ast_{\pi_1(W_1 \cap W_2)} \pi_1(W_2) \cong \pi_1(W_1) \ast_{\{e\}} \pi_1(W_2) \cong \pi_1(W_1) \ast \pi_1(W_2) \cong \pi_1(M) \ast \pi_1(N) $$

    tenemos entonces a partir de (9) que

    $$ \pi_1(M) \ast \pi_1(N) \cong \pi_1(M\#N) $$

    como se desee.

Answer 1

Vamos a ser un poco más precisos. La suma directa de $M\#N$ se define como el cociente de la inconexión de la unión de $M$ $N$ por una relación de equivalencia identificación de $U_2 -\{p_m\}$ $V_2-\{p_n\}$ definido por algunos homeomorphism entre los dos. Después denotar por $W_1$ la imagen de $U_1$ bajo el cociente mapa y por $W_2$ la imagen de $V_1$ bajo el cociente mapa.

5) $W_1\cap W_2$ está conectado porque es homeomórficos a $U_2-\{p_m\}\cong V_2-\{p_n\}$. Estos son pinchado discos, lo que la deformación se retracte en las esferas. Esferas de dimensión mayor que $0$ están conectados.

(Tenga en cuenta que esto todavía funciona para $n=2$.)

6) Ver arriba: todo lo que aquí se cruza en el disco perforado donde hemos pegado para crear el conectar suma. Pinchado discos de deformación retraer a las esferas.

7) El espacio de $S^{n-1}$ es definitivamente no contráctiles para $n\geq 2$. Esto es simplemente conectado.

8) Aquí es donde se tiene la hipótesis de $n>2$. Para la dimensión mayor que $2$, la eliminación de un punto de no cambiar el grupo fundamental. Para ver por qué, muestran que la homomorphism $\pi_1(U_1)\to \pi_1(M)$ inducida por la inclusión en realidad es un isomorfismo. La intuición es que si alguno de los homotopies entre los generadores $\pi_1(M)$ le pega al balón que ha eliminado, puede ser "movido" por lo que "rodea" a la pelota.

(La eliminación de un punto de cambio más alto homotopy grupos --- $M$ no es homotopy equivalente a $U_1$ --- pero no cambio $\pi_1$.)