Sumas de raíces para aproximar números

Question

Estaba pensando en secuencias aleatorias y se me ocurrió este problema.

¿Se puede expresar un algebraico o un racional como suma o diferencia de raíces cuadradas de números enteros?

Por ejemplo, $5=\sqrt{25}=\sqrt{16}+\sqrt{1}$ .

Se sabe que si la serie es infinita se puede aproximar cualquier número, pero ¿es posible obtener cualquier número algebraico(racional o irracional) con un número FINITO de términos?

Answer 1

Pues ciertamente no se puede obtener un número trascendental como suma de algebraicos ya que los algebraicos son cerrados bajo sumas. Tampoco se puede obtener todo número algebraico como suma de enteros radicales (si no, todo polinomio sería resoluble). Pero es fácil ver que se puede obtener cualquier número entero racional.

Nota: De hecho, Heine definió originalmente los enteros algebraicos como enteros radicales, es decir, el anillo obtenido cerrando $\rm\:\mathbb Z\:$ bajo consumo $\rm\:n$ 'th raíces. Heine afirmaba que todo número entero algebraico resoluble es un número entero radical, un problema que sigue abierto según Franz Lemmermeyer. Sin embargo, no es demasiado difícil demostrar que todo entero cuadrático es un entero radical, por ejemplo

$$ \frac{\sqrt{17}+1}{2}\ =\ \frac{\sqrt{17}+\sqrt{5}}{2}\ -\ \frac{\sqrt{5}-1}{2}\ =\:\ (7\ \sqrt{5} + 4\ \sqrt{17})^{1/3} - (\sqrt{5}-2)^{1/3}$$

Answer 2

Cualquier suma o diferencia finita de raíces cuadradas enteras es una número algebraico y $\pi$ se sabe que trascendental . Así que no es posible

Answer 3

Buena pregunta, que enlaza con una rica historia (duplicación del cubo, construcción con regla y compás de polígonos regulares). Resulta, por ejemplo, que una raíz de un cúbico con coeficientes racionales, que es irreducible sobre los racionales, no puede expresarse en la forma que mencionas, o incluso en una forma más general que implique también la división y raíces cuadradas anidadas, como $\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{6}+17}$ . Se pueden encontrar pruebas buscando palabras clave como trisección de ángulos, duplicación del cubo.