Mostrar límite a cero para $\frac{x^3-xy^2}{\vert x \vert + y^2}$ no existe

Question

Dada es la siguiente función $f(x,y)= \frac{x^3-xy^2}{\vert x \vert + y^2}$ . Cómo demostrar que el límite $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ ¿no existe?

Todavía he probado a acercarme al cero en varias direcciones, pero no he sido capaz de encontrar dos con resultados diferentes.

Answer 1

El límite es $0$ . Para ver esto, observamos que si $\sqrt{x^2+y^2}\le 1$ entonces $|x|+y^2\ge x^2+y^2$ .

Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align} \left|\frac{x^3-xy^2}{|x|+y^2}\right|&\le \frac{|x|\,|x^2-y^2|}{x^2+y^2}\\\\ &\le \frac{|x|(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\\\\ &=|x| \end{align}$$

¡Y ya está!

Answer 2

La razón por la que no se puede resolver es el hecho de que el límite existe y es $0$ :

$$0 \le \left| \frac {x^3 -xy^2} {|x| + y^2} \right| = \frac {|x^3 -xy^2|} {|x| + y^2} \le \frac {|x^3| + |xy^2|} {|x| + y^2} \le \frac {|x^3| + |xy^2|} {|x|} = |x^2| + |y^2| \to 0 ,$$

lo que demuestra (por el teorema del sándwich) que

$$\left| \frac {x^3 -xy^2} {|x| + y^2} \right| \to 0 ,$$

de donde

$$\frac {x^3 -xy^2} {|x| + y^2} \to 0 .$$