La derivada simétrica es siempre igual a la derivada regular cuando existe, y aún no está definida para discontinuidades de salto. Por lo que sé, las únicas diferencias son que una derivada simétrica dará la "pendiente esperada" para discontinuidades desmontables, y la pendiente media en las cúspides. Éstas parecen cantidades muy razonables con las que trabajar (especialmente la primera), así que me pregunto por qué la derivada "típica" no es ésta. ¿Qué ventaja tiene tomar $\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)} h$ como principal cantidad de interés? ¿Por qué querríamos utilizar la que se define con menos frecuencia?
Respuestas
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Que la derivada simétrica se defina en más lugares no es bueno.
En mi opinión, el principal objetivo de la diferenciación es aproximar localmente una función mediante una función lineal. Es decir, el meollo de decir que la derivada $f'(a)$ existe en un punto $a$ es la afirmación de que
$$f(x) = f(a) + f'(a) (x - a) + o(|x - a|)$$
como $x \to a$ Y si yo fuera el Rey del Cálculo, así es como se definiría la derivada. (Entre otras cosas, esta definición se generaliza sin problemas a dimensiones superiores). Las discontinuidades removibles no son un problema ya que simplemente deberían ser eliminadas, pero en una cúspide nosotros no tienen esta propiedad para ningún valor posible de $f'(a)$ por lo que no deberíamos hablar de derivadas en esos puntos. (Podemos hablar de derivadas a la izquierda o a la derecha, pero esto es algo diferente).
La derivada simétrica en $a$ no es una definición natural. Tiene la extraña propiedad de que cualquier rareza en una vecindad de $a$ se ignora si se cancela por una rareza equivalente después de reflejar alrededor de $a$ . Pondré un ejemplo. Consideremos la función $f(x) = 1_{\mathbb{Q}}(x)$ que es igual a $1$ si $x$ es racional y $0$ de lo contrario. La derivada simétrica de $f$ en cualquier punto racional existe y es igual a $0$ ¡! ¿Hay algún sentido razonable en el que $f$ es diferenciable en un punto racional?
La derivada ordinaria, en cambio, es sensible a las rarezas en torno a $a$ porque compara todas esas rarezas con $f(a)$ .
Anthony Cramp
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Siguiendo mi comentario sobre el Teorema del Valor Medio. Dado que el MVT falla, cualquier cosa que demostremos a partir del MVT es probable que falle también. Por ejemplo:
Hallar el mínimo de la función (simétricamente) diferenciable $f(x) = x+2|x|$ en el intervalo $[-1,1]$ .
Solución habitual: encontrar dónde la derivada es cero. Respuesta: ¡en ningún sitio! Puesto que $f'(x) = -1$ en $[-1,0)$ , $f'(0)=1$ , y $f'(x)=3$ en $(0,1]$ .
