¿Por qué $(13)(47)(13)(23)=(47)(23)$ ?

Question

Dado $a=(3714)$ y $b=(123)$ . Calcule $a^2b$ . Tengo $(13)(47)(13)(23)$ como mi respuesta, pero ¿por qué $(13)(47)(13)(23)=(47)(23)$ ? Tengo el lado izquierdo de esta ecuación, pero no entiendo por qué el $(13)$ términos se anulan. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La idea clave que necesitas es que los ciclos disjuntos conmutan. Esto significa que:

$$ (1 3)(4 7)(1 3)(2 3) = (1 3)(1 3)(4 7)(2 3) = (4 7)(2 3) $$

Answer 2

Porque esto conmuta: $(13)(47)(13)$ ; además si compruebas exactamente donde van los elementos, obtienes que es lo mismo que el lado derecho.

Answer 3

Porque los ciclos disjuntos conmutan, como ya han dicho otros. Pero para convencerse de ello, puede ser útil seguir lo que ocurre con cada uno de los elementos $1,2,3,4,7$ mientras "pasan por el molino". Por ejemplo, mire lo que le ocurre a $3$ : $$(13): 3\to 1$$ $$(47): 1\to 1$$ $$(13): 1\to 3$$ $$(23): 3\to 2$$ Así que $3$ se asigna a $2$ .

Si lo hace usted mismo, comprobará que el resultado es el mismo que $(47)(23)$ .

Answer 4

Pista: $(13)$ y $(47)$ porque son disjuntos. También, $(13)$ tiene orden dos.