Doble integración: $ \int_0^a \int_0^b e^{max(b^2x^2,a^2y^2)}dydx $

Question

Agradecería un poco de ayuda si alguien pudiera ayudarme a resolver un problema de mi libro de texto.

La cuestión es evaluar $ \int_0^a \int_0^b e^{max(b^2x^2,a^2y^2)}dydx $ donde $a,b$ son números positivos y $max(b^2x^2,a^2y^2)=b^2x^2$ si $b^2x^2 \geq a^2y^2$ y $a^2y^2$ si $b^2x^2 < a^2y^2$ .

He estudiado integrales dobles, pero no estoy seguro de cómo resolver esta cuestión. He mirado la hoja de respuestas y dice $\int_0^a \int_0^{bx/a} e^{b^2x^2}dydx + \int_0^b \int_0^{ay/b} e^{a^2y^2}dxdy$ pero realmente no entiendo el significado de esto. ¿Podría alguien echarme una mano?

Answer 1

Su dominio de integración se separa a lo largo de la curva $$ a^2 y^2 = b^2 x^2 \iff y = \pm \frac{b}{a} x $$

Eso parece como cortar el avión en cuatro partes. Teniendo en cuenta sólo lo que sucede dentro de $[0,a] \times [0,b]$ es $$ y = \frac{b}{a} x \quad (*) $$ así que $[0,a] \times [0,b]$ se divide en dos triángulos a lo largo de $(*)$ .

Por ejemplo $a = b = 1$ recortaría $[0, a] \times [0, b]$ en dos triángulos a lo largo de la diagonal $y = x$ .

En cada triángulo sólo se aplica un caso de la selección máxima, así que ya sabes qué integrar.

El resto es configurar correctamente la doble integración en cada triángulo, y sumar ambos valores. Eso concuerda con la respuesta de tu hoja.

Answer 2

Sugerencia: Puede descomponer la integral utilizando, por ejemplo $0 < a, b$ , $$ \max(b^{2}x^{2}, a^{2}y^{2}) = \begin{cases} b^{2}x^{2} & \text{if $ay \leq bx$, i.e., $y \leq bx/a$,} \\ a^{2}y^{2} & \text{if $bx \leq ay$, i.e., $x \leq ay/b$.} \end{cases} $$