De hecho, si desea definir los grupos como una variedad de $\Omega$ -algebras, una hace de hecho definen un grupo de esta manera: como un álgebra con signatura $(2,1,0)$ etc.
Esto le permite encajar la teoría de grupos (y más tarde, la teoría de anillos) en el tapiz más amplio del Álgebra Universal (o General); véase por ejemplo George Bergman Una invitación al álgebra general y a las construcciones universales .
Sin embargo, hay muchas cosas que son ciertas para los grupos y que, en general, no lo son para las álgebras universales. Por ejemplo, cualquier homomorfismo de semigrupo entre dos grupos debe ser un homomorfismo de grupo. Este no es el caso incluso para los monoides (se puede tener un homomorfismo de semigrupo entre dos monoides que no sea un homomorfismo de monoide, porque no asigna la identidad a la identidad). Si no conoces los grupos "lo suficientemente bien" (y los ves simplemente como álgebras universales con signatura $(2,1,0)$ y que satisfaga las identidades apropiadas), entonces para comprobar que un mapa entre grupos es un homomorfismo habría que comprobar que mapea productos a productos, inversos a inversos y la identidad a la identidad. Para "salir del paso" con sólo comprobar que es un homomorfismo de semigrupo, habría que demostrar que es así... y esto resulta ser esencialmente equivalente a realizar la comprobación de que la definición de grupo que citas primero determina unívocamente la identidad y los inversos.
Entonces, si son equivalentes, ¿por qué utilizar uno y no otro? Un par de razones: una es, sin duda, la inercia histórica. Los grupos eran originalmente definidos sólo en términos de su operación binaria. El segundo es la parsimonia: cuando se tiene un concepto, y es ubicuo (como el concepto de grupo), se desea que la definición sea lo más parsimoniosa posible, porque se quiere que sea fácil verificar que un caso dado es de hecho un grupo. Podríamos añadir todo tipo de cláusulas a la definición de grupo (cláusulas que son teoremas de la definición estándar) que harían mucho más fácil demostrar otros teoremas; pero eso significaría que si encuentras un conjunto tirado en la calle y quieres comprobar si es un grupo, tendrías que comprobar todas las cláusulas extra.
Utilizando la definición "habitual", sólo necesita una operación y tres propiedades. Si utilizamos la definición de álgebra universal, tendremos que comprobar tres operaciones y tres propiedades. Así que acabas teniendo que hacer más comprobaciones para ver si lo que tienes delante es realmente un grupo o no. En general, es mejor tener que hacer menos comprobaciones que más comprobaciones para ver si la teoría se aplica.
Realmente no conozco ningún texto que utilice la notación prefijo o sufijo para la operación binaria de un semigrupo, así que no puedo ayudar con la pregunta final.
Ya que esto surgió en los comentarios, aclaremos algunas cosas sobre la "operación nula".
En primer lugar, tanto si defines una función como un conjunto de pares ordenados, como si la defines en términos de un dominio, un codominio (e independientemente de cómo definas codominio), y una regla que asocia a cada elemento del dominio un único elemento del codominio, creo que podemos estar de acuerdo en que si $f$ y $g$ son funciones con el mismo dominio y el mismo codominio, entonces $f=g$ si y sólo si para cada elemento $x$ en el dominio, $f(x)=g(x)$ .
Por lo tanto, si $A$ es un conjunto, ¿cuántos distinto funciones están ahí de $\emptyset$ (el conjunto vacío) a $A$ ? Como notas, la condición de ser una función (para cada elemento del dominio hay uno y sólo un elemento de $A$ ) se satisface vacuamente, así que parece que puedes tomar tu función como "lo que sea", y satisfará la definición.
Pero la cuestión que planteé en los comentarios era que, de hecho, sólo hay una función porque de lo que significa la igualdad de funciones. Si $f$ y $g$ son dos funciones con dominio $\emptyset$ y codominio $A$ entonces $f=g$ por vacuidad: para cada $x\in\emptyset$ tenemos $f(x)=g(x)$ . (Dicho de otro modo, para $f$ y $g$ para ser diferentes, tendría que haber un elemento en el conjunto vacío donde $f$ y $g$ no están de acuerdo; no existe tal elemento, por lo que no son diferentes). Esto significa que dos funciones cualesquiera con dominio $\emptyset$ y codominio $A$ son necesariamente iguales como funciones . Así que hay una y sólo una función con dominio $\emptyset$ y codominio $A$ .
Si define una función de $X$ a $Y$ como subconjunto de $X\times Y$ (pares ordenados) que satisface ciertas propiedades, entonces resulta que $\emptyset$ en función de $\emptyset$ a $A$ (como subconjunto de $\emptyset\times A = \emptyset$ ) cumple esta definición, por lo que el función de $\emptyset$ a $A$ es $\emptyset$ la "función vacía". Por eso dije que hay una y sólo una función del conjunto vacío a $A$ .
Ahora, sobre $n$ -ary (y $0$ -ario o nulo): en general, una operación $n$ -operación de $A$ se define como una función de $A^n$ a $A$ . Por tanto, una operación nula es una función con dominio $A^0$ y codominio $A$ .
¿Qué es la $A^0$ ? Bien, aquí es útil definir productos cartesianos arbitrarios: si $\{A_i\}_{i\in I}$ es una familia de conjuntos, entonces $\mathop{\times}\limits_{i\in I}A_i$ se define como el conjunto de todas las funciones $f\colon I\to \cup A_i$ tal que $f(i)\in A_i$ . Para $I=\{1,2,\ldots,n\}$ Esto puede considerarse naturalmente "lo mismo" que la idea de $n$ -tuplas: la $n$ -tupla $(a_1,\ldots,a_n)$ se identifica con la función que asigna $i$ a $a_i$ y una función $f\colon I\to \cup A_i$ con $f(i)\in A_i$ puede asociarse a la tupla $(a_1,\ldots,a_n)$ .
Así, en lugar de definir $A^n$ como el conjunto de $n$ -tiene más sentido definirlo como el producto $\mathop{\times}\limits_{i=1}^n A$ lo que permite una fácil generalización a otros conjuntos: para cualquier conjunto $I$ puede definir un $I$ -tupla de elementos de $A$ simplemente $\mathop{\times}\limits_{i\in I} A$ . Esto es $$\mathop{\times}_{i\in I} A = \bigl\{ f\colon I\to A\bigm| f\text{ is a function}\bigr\}$$ el conjunto de todas las funciones de $I$ a $A$ . Por analogía con $A^n$ lo escribimos como $A^I$ .
Usando esta notación, $A^0$ es el conjunto de todas las funciones de $0$ a $A$ según la definición habitual de los números naturales como conjuntos, tenemos $0=\emptyset$ , $1=\{0\}$ , $2=\{0,1\}$ etc. Así que $A^0$ es $$A^0 = \{ f\colon 0 \to A\mid f\text{ is a function}\} = \{f\colon\emptyset\to A\mid f\text{ is a function}\}.$$ Pero acabamos de hablar de esto. Hay una y sólo una función con dominio $\emptyset$ y codominio $A$ así que $$A^0 = \{f\colon \emptyset\to a\mid f\text{ is a function}\} = \{\emptyset\}.$$
Por lo tanto, una operación nula sobre $A$ es una función $A^0\to A$ . Pero $A^0 = \{\emptyset\}$ . Por tanto, una operación nula sobre $A$ es una función $\{\emptyset\}\to A$ . Existe una correspondencia natural entre las funciones de un singleton a $X$ y los elementos de $X$ una función $f\colon\{a\}\to X$ corresponde al elemento $f(a)$ y un elemento $b\in X$ corresponde a la función que envía $a$ a $b$ . Por tanto, las operaciones nulas sobre $A$ están en correspondencia uno a uno con los elementos de $A$ por lo que las operaciones nulas a veces se denominan "elementos distinguidos de $A$ ": puedes pensar en una función nula como su valor único.
En cualquier caso, una operación nula no es un mapeo del conjunto vacío a $G$ sino que es un mapeo desde el conjunto de todos los mapeos desde el conjunto vacío a $G$ a $G$ es una función $G^{\emptyset}\to G$ .
