Ejemplo con casi todas las convergencias en las que falla el teorema de la convergencia dominada

Question

Así que me encontré con este ejercicio, y quiero que alguien compruebe la exactitud de mi respuesta.

Sea $f_n(x) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f_n(x)= n\mathcal{X}_{[0,\frac{2}{n}]} \forall$ n $\in \mathbb{N} $ . Compruebe si las funciones $f_n$ son $\lambda$ -integrable y si $f=\lim_{n \to \infty}{f_n}$ e A continuación, compruebe si $\int{f_n}d \to \int{f}d$ . ¿Qué puedes observar sobre los teoremas de la convergencia dominada y la convergencia monótona?

~Well, $\int{f_n}d = \int_{[0,\frac{2}{n}]}{n}d + 0 = 2$ por lo que es finito, por lo tanto $\lambda$ -integrable. No estoy seguro de si está bien decir que $f_n \to f=0 a.e $ ya que el único punto que $f_n$ no converge a $0$ est $0$ pero $(\{0\})=0$ .

Ya que como vimos $\int{f_n}d = \int_{[0,\frac{2}{n}]}{n}d + 0 = 2 \to 2$ pero $\int{f}d=0$ la convergencia declarada, $\int{f_n}d \to \int{f}d$ no es cierto.

La convergencia dominada no puede cumplirse, ya que no existe una cota suficiente para $f_n$ y (a menos que no pueda verlo) $f_n$ no es una secuencia creciente, por lo que tampoco se puede utilizar el teorema de convergencia monótona.

Answer 1

Su pensamiento es correcto; tal vez cuando comprobemos que $f_n$ es integrable debemos poner el valor absoluto (la función es no negativa, pero demuestra que no lo olvidaste).

Tienes razón sobre la convergencia puntual. La convergencia no es monótona (si $x\in (0,1)$ es fijo, entonces $f_n(x)$ aumenta entonces se convierte en $0$ para $n$ suficientemente grande en función de $x$ ) y puesto que $\sup_n|f_n|$ no es integrable no hay función integrable dominante.