¿Por qué necesitamos vectores y quién lo inventó?

Question

Es natural entender la necesidad de los escalares (números), pero ¿por qué inventamos los vectores? ¿Quién lo inventó y para qué?

EDITORIAL: Como George Lowther señaló, el problema es demasiado amplio; añadí las siguientes preguntas como suplementos concretos.

1. Es fácil para los humanos entender la ley de adición de los números escalares, pero ¿por qué la adición de los vectores sigue la regla del paralelogramo y no alguna otra ley? (enlace a la física: ¿Cómo sabemos que la suma de fuerzas sigue la ley del paralelogramo?)

2. La longitud de un vector bidimensional es la hipotenusa del triángulo construido a partir de las dos componentes del vector y la longitud del vector tridimensional también sigue este camino. ¿Pero qué pasa con los vectores de 4 dimensiones?

3. ¿Por qué definimos los productos puntuales de los vectores como ahora? ¿Es por su esencia física o por su equivalencia con la ley de los cosenos?

Answer 1

Los vectores deben considerarse, en una primera aproximación, como "números con dirección". Para los fenómenos físicos que llevan una dirección, como la velocidad y el desplazamiento, los vectores son inmensamente útiles.

El concepto de número con dirección se remonta probablemente a la antigüedad, ya que la elaboración de mapas y señales incorpora ya implícitamente esta noción. La representación moderna de un vector/punto en el espacio con un triplete ordenado de números suele atribuirse a la aparición de geometría analítica debido al filósofo René Descartes .

Con el "descubrimiento" de los números complejos por parte de Jerome Cardan también surgió una noción diferente de los vectores: se puede pensar que los números imaginarios viven en una dirección diferente a la de los escalares reales (por lo que los números complejos forman un espacio vectorial real).

A lo largo de los últimos 400 años, aproximadamente, la noción de vector fue evolucionando hasta convertirse en lo que conocemos hoy, con aportaciones de ramas de las matemáticas que se desarrollaron en el análisis y el álgebra modernos. Existe un buen resumen de ese periodo de desarrollo aquí . Véase el artículo de Michael Crowe libro para una descripción más completa también de las aportaciones griegas y las influencias del siglo XVI en esta materia.

En resumen, no hay que pensar en los vectores como algo "inventado", ni atribuirlo a una sola persona.

Answer 2

Willie cubrió gran parte de lo que quería decir; sin embargo, me gustaría hacer una pequeña digresión histórica: antes de que tuviéramos el concepto de vector, existía el cuaternión, la generalización de William Rowan Hamilton de los números complejos habituales. Resultaron muy convenientes para las aplicaciones físicas, y así despegó el uso de los cuaterniones. De hecho, las ecuaciones electromagnéticas de Maxwell se formularon por primera vez en notación de cuaterniones.

Fueron Josiah Gibbs y, de forma independiente, Oliver Heaviside quienes estudiaron la posibilidad de descomponer el cuaternión en una parte escalar (real) y otra vectorial (imaginaria), y descubrieron que las manipulaciones en esta nueva formulación eran más "limpias". El análisis vectorial despegó y los cuaterniones perdieron protagonismo.

Diría más, pero un libro ya se ha escrito sobre este asunto, por lo que le remito a él.

Answer 3

Un estudio de caso de una aplicación particular:

Los vectores son absolutamente necesarios para el desarrollo de juegos, por ejemplo. ¿Cómo se renderiza un modelo 3D que puede situarse en cualquier punto del espacio y girar en cualquier dirección y que es visto por una cámara que apunta en una dirección arbitraria?

En primer lugar, el modelo se almacena en algún sistema de coordenadas local. Estos son los datos que realmente llenan el archivo desde el que se carga el modelo. Aunque el contenido exacto será diferente en los distintos sistemas de renderizado, al menos tendrás las coordenadas de los vértices en relación con algún punto central elegido arbitrariamente. Estos se ven como vectores, y este punto de vista es crucial para lo que viene a continuación.

Ahora todos los modelos son cargados por el sistema de renderizado, pero necesitan ser colocados en un sistema de coordenadas global. Esto incluye ponerlos en su posición real en el mundo, rotarlos, etc. Esta etapa se lleva a cabo transformando cada uno de los vectores en coordenadas locales de acuerdo con una matriz de transformación del mundo--esta matriz traduce y rota el modelo. Tal vez te preguntes cómo se realizan las traslaciones de este modo. Esto se debe a que la mayoría de los sistemas de renderizado almacenan los vértices en coordenadas homogéneas de cuatro dimensiones, y las matrices de transformación son $4\times 4$ --es un ejercicio que vale la pena para ver que esto permite realizar transformaciones afines en $\mathbb{R}^3$ .]

A continuación se aplica otra transformación matricial a todos los datos de los vértices para tener en cuenta la posición y la orientación de la cámara.

Por último, se aplica otra transformación que proyecta todos los datos en la pantalla de visualización: no se trata de una proyección ortogonal, sino de una proyección en perspectiva, de modo que los objetos en la distancia parecen más pequeños que los objetos cercanos a la cámara.

Answer 4

1) Sean Carroll afirma que lo esencial del concepto de vector surgió con Galileo Galilei . Galileo observó que si se patea una pelota hacia adelante desde un edificio, o se deja caer una pelota desde un edificio, las pelotas caen al mismo tiempo.

Por lo tanto, el movimiento horizontal ( patada ) es separable del movimiento vertical ( otoño ). De ahí se obtiene la separación de la fuerza en dos partes: las 2 componentes del vector.

3) En cuanto al producto punto, es la forma más natural de capturar numéricamente el concepto de "ángulo entre dos cosas".

2) El patrón continúa así: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + \ldots}$ para un triángulo rectángulo multidimensional con lados $a, b, c, d, e, \ldots$ . Sorprendente, ¿no?

Answer 5

Si los vectores se conciben como tripletes de números (a,b,c), ¿por qué estos tripletes deben sumarse por la ley del paralelogramo? Todo depende de lo que representen estos tripletes.

Si se empieza con la adición de números positivos en la recta numérica, digamos 5+3, esto puede verse como la colocación de dos segmentos de línea de longitud 5 y 3 a lo largo de una línea que comienza en el origen. Esto se puede generalizar a los segmentos de línea en un plano permitiendo que apunten en diferentes direcciones.

Si empiezas con dos segmentos de línea contiguos, puedes ampliar el dibujo hasta convertirlo en un paralelogramo, y es debido a la geometría euclidiana que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección. Así que el paralelogramo da dos caminos diferentes para moverse desde el origen hasta el punto resultante, lo que viene a decir que la ley del paralelogramo es equivalente a la ley conmutativa A+B=B+A.

Incluso en una dimensión, a los segmentos de la línea se les puede dar una dirección, de modo que 5+(-3) significa poner una línea de longitud 5 en la dirección +, y luego dar la vuelta y dibujar una línea de longitud 3 en la dirección opuesta para llegar al número 2. Al ser conmutativo, también se podría empezar con una línea de longitud 3 en la dirección negativa desde el origen a lo largo de la recta de los números reales y luego dar la vuelta y dibujar una línea de longitud 5 en la dirección positiva llegando de nuevo a 2.

Así que la ley del paralelogramo de la adición de vectores es una extensión directa de la adición de números ordinarios como segmentos de línea dirigidos y es compatible con la adición de números negativos.

Mucho antes de que se desarrollaran las coordenadas cartesianas, la gente utilizaba la geometría, incluido el teorema de Pitágoras, para calcular la suma de distancias y velocidades.

Después se descubrió la relatividad especial y se comprobó que la ley del paralelogramo ya no es válida para la adición de velocidades, así que para responder a su pregunta: efectivamente, a veces se utilizan otras leyes. La cuestión es: ¿cómo sabemos qué leyes se aplican a qué aspectos de la naturaleza? No lo sabemos. Hacemos observaciones y luego hacemos suposiciones sobre cómo se comportan las cosas basándonos en esas observaciones. Intentamos utilizar estructuras matemáticas que describan con precisión el comportamiento observado, y suponemos que si nuestros modelos son lo suficientemente precisos, los cálculos derivados de esos modelos también describirán la naturaleza con precisión.