Obtener la desigualdad del triángulo a partir de la desigualdad de Minkowski

Question

Quiero probar:

$$\|f-h\|_p \leq \|f-g\|_p + \|g-h\|_p$$

Desigualdad de Minkowski: $$\|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$$ Es $\|f-g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$ ? Parece que sí:

$$\left(\int_a^b |f-g|^p\right)^{\frac1p}\leq \left(\int_a^b |f|^p\right)^{\frac1p}+\left(\int_a^b |-g|^p\right)^{\frac1p}$$ y como esta en el suspiro de valor absoluto, obtenemos el resultado. ¿Es aceptable? ¿El $f-g$ tienen $f+(-g)$ y por lo tanto puedo tomar el $-g$ ¿Así?

Answer 1

Los nombres de las funciones en $\|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$ son marcadores de posición. Las funciones no tienen que llamarse $f$ y $g$ para que la desigualdad funcione; no es necesario nombrarlas - se pueden introducir algunas combinaciones algebraicas de funciones en lugar de $f$ y $g$ . Por ejemplo, $$\|24f^2+3f\cos(g)\|_p \leq \|24f^2\|_p + \|3f\cos(g)\|_p$$

Otro ejemplo más sencillo $$\|f+(-g)\|_p \leq \|f\|_p + \|-g\|_p$$ y observó correctamente que $\|-g\|_p=\|g\|_p$ .

Dicho esto: usted quiere $f-g$ y $g-h$ en el lado derecho, ¿no? ¿Qué tal si pones estas expresiones en " $f$ " y " $g$ ¿"marcadores de posición"?