Por lo que he visto, la mayoría de los textos modernos de introducción al análisis real introducen integrales de Darboux, no integrales de Riemann. De hecho, muchos ni siquiera mencionan las integrales de Riemann tal y como se definen (con sumas de Riemann en lugar de sumas de Darboux). Sin embargo, llaman integrales de Riemann a las integrales de Darboux. ¿Alguien conoce la historia de esto? Puedo entender por qué usan Darboux, me parece mucho más natural y la convergencia es más sencilla en cierto sentido (y por supuesto las dos son equivalentes). Pero, ¿por qué las llaman integrales de Riemann? ¿Se trata de otra apropiación matemática indebida de crédito o quizás Riemann estaba más involucrado con las integrales de Darboux (que a su vez pueden estar mal denominadas)?
Respuestas
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Hay otros ejemplos, como "An introduction to Real Analysis" de Wade. No conozco en absoluto la historia de estas definiciones. Una vez que el polvo se asienta sobre las particiones, sólo nos queda un concepto de integral. El término "integral de Riemann" está tan arraigado en la literatura que no utilizarlo no es una opción. Se podría utilizar el término "integral de Darboux" junto a "integral de Riemann", pero la mayoría de los estudiantes de Introducción al Análisis Real ya están suficientemente confundidos. Mencionar nombres por mencionar nombres no es lo que debería hacer un libro de texto de matemáticas. Esa tarea es mejor dejársela a los libros de historia de las matemáticas.
Si te sientes mal por Darboux, no dejes de reconocerle el mérito del teorema sobre los valores intermedios de la derivada. (Rudin demuestra el teorema, pero no le pone nombre).
Si por mí fuera, no se mencionaría a Maclaurin en los libros de cálculo. Input: el tiempo total empleado por los profesores de cálculo en explicar el enigma nomenclatorial Maclaurin-Taylor a los estudiantes de primer año de ingeniería privados de sueño. Resultado:
Las integrales de Riemann y Darboux son equivalentes, pero las integrales de Riemann-Stieltjes y Darboux-Stieltjes, que amplían las definiciones anteriores para integrar una función con respecto a otra función, no son equivalentes. Por lo tanto, incluso pedagógicamente, creo que deberían distinguirse y nombrarse por separado.
