Sea $\phi_e : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sea la función recursiva codificada por $e$ y $W_e = \{ x : \phi_e(x) \text{ is convergent}\}$ .
Un conjunto $A$ es enumerable recursivamente si $A = W_e$ para algunos $e$ .
¿Es cierto que dada una función recursiva unívoca $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ que existe una función recursiva unívoca $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que $W_{g(e)} = f^{-1}[W_e]$ ?
Estoy bastante seguro de que existe una función que hace esto, ya que $$x \in f^{-1}[W_e] \iff f(x) \in W_e \iff \phi_e(f(x)) \text{ is convergent}.$$
Así que $f^{-1}[W_e] = W_{e'}$ para algunos $e'$ como $\phi_{e'} = \phi_e \circ f$ es recursivo. Así que dejamos que $g(e) = e'$ . Creo que hay alguna forma de aplicar el $S^m_n$ para obtener que $g(x)$ es recursivo.
¿Hay alguna forma de mostrar que $g$ es uno a uno? ¿Es cierto que $g$ debe ser uno a uno? Esto surgió en otra prueba, y parece que debería ser posible para dos conjuntos recursivamente enumerables para tirar hacia atrás al mismo conjunto. Pero no he podido encontrar un contraejemplo, y sería de gran ayuda si fuera así.
¿Alguien puede orientarme?
Editar : Al parecer, la forma en que el $S^m_n$ son unívocas. Así que el trabajo está en mostrar $g = S^m_n$ para algunos $m, n$ y algunas entradas. He estado trabajando en ello, pero no consigo dar en el clavo.
