Ecuación sobre Z

Question

Resolver la ecuación $xy+1=3x+y$ en $\mathbb{Z}^2$

En efecto, $$ xy+1=3x+y \Longleftrightarrow (x-1)(y-3)=2 $$

o $ \textrm{Div}(2)=\{k \in \mathbb{Z}/ k|2 \}=\{-1;1;-2;2\}$ Entonces

$(x-1)/2 \implies x-1 \in \textrm{Div}(2) \implies x\in \{0,2,-1,3 \} $ $(y-3)/2 \implies y-3 \in \textrm{Div}(2) \implies y\in \{2,4,1,5 \} $ $$S=\{(0,2),(2,4),(-1,1),(2,5)\}$$ ¿estoy en lo cierto?

Answer 1

$(0,2)$ no es una solución porque $(0-1)(2-3)\neq 2$

Lo que ha observado $xy+1=3x+y \Longleftrightarrow (x-1)(y-3)=2$ es apreciable ..

Para que se mantenga en $\mathbb{Z}^2$ las únicas posibilidades son..

• $(x-1)=2$ y $(y-3)=1$ .. ¿Qué dice esto sobre $x,y$ ?
• $(x-1)=-2$ y $(y-3)=-1$ .. ¿Qué dice esto sobre $x,y$ ?
• $(x-1)=1$ y $(y-3)=2$ .. ¿Qué dice esto sobre $x,y$ ?
• $(x-1)=-1$ y $(y-3)=-2$ .. ¿Qué dice esto sobre $x,y$ ?

Answer 2

$(x-1)(y-3)=2\implies(x-1,y-3)\in\{(1, 2), ((2,1),(-1,-2),(-2,-1)\}.$