Si $(a_n)$ es una sucesión de Cauchy en $X$ es evidente que $fa_\infty=\lim_{n\to\infty}f(a_n)$ existe en $Y$ porque $\big(f(a_n)\big)$ es Cauchy en $Y$ y $Y$ está completo.
Ahora, supongamos $(a_n)$ y $(\alpha_n)$ pertenecen a la misma clase de equivalencia en la terminación de $X$ .
Afirmación (coherencia): En la notación obvia, $fa_\infty=f\alpha_\infty$ .
Prueba : Demostraremos de forma equivalente que $d_Y(fa_\infty,f\alpha_\infty)=0$ .
Considere $d_Y\big(f(a_n),f(\alpha_n)\big)$ . Por continuidad, de $d_Y$ tenemos que
$$\lim_{n\to\infty}d_Y\big(f(a_n),f(\alpha_n)\big)=d_Y(fa_\infty,f\alpha_\infty).$$
Por lo tanto, basta con demostrar que el límite anterior es $0$ es decir:
$$\forall\epsilon>0,\,\,\exists n\in\mathbb{N},\,\,\forall m\geq n,\,\,d_Y\big(f(a_m),f(\alpha_m)\big)\leq \epsilon\tag{$ * $}.$$
Para ello, consideremos la secuencia definida del siguiente modo: para todo $k\in\mathbb{N}$ , $b_{2k+1}=a_k$ y $b_{2k}=\alpha_k$ . Demostraremos que $(b_n)$ es Cauchy. Dado que $f$ es Cauchy-preservador, esto implicará que $(*)$ .
En efecto, puesto que $(a_n)$ y $(\alpha_n)$ son Cauchy y están en la misma clase de equivalencia, tenemos que
\begin{align} &\forall\stackrel{\sim}{\epsilon}>0,&&\exists n_0\in\mathbb{N},&&\forall m,\stackrel{\sim}{m}\,\geq n_0,&&d_X\left(a_m,a_{\stackrel{\sim}{m}}\right)\leq \stackrel{\sim}{\epsilon}\tag{1}\\ &\forall\stackrel{\sim}{\epsilon}>0,\,&&\exists n_1\in\mathbb{N},&&\forall m,\stackrel{\sim}{m}\,\geq n_1,&&d_X\left(\alpha_m,\alpha_{\stackrel{\sim}{m}}\right)\leq \stackrel{\sim}{\epsilon}\tag{2}\\ &\forall\stackrel{\sim}{\epsilon}>0,&&\exists n_2\in\mathbb{N},&&\forall m\geq n_2,&&d_X\left(a_m,\alpha_{m}\right)\leq \stackrel{\sim}{\epsilon}\tag{3}\\ \end{align}
Fijar $\epsilon>0$ . En cada uno de $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ Toma $\stackrel{\sim}{\epsilon}=\epsilon/2$ en la declaración, y que $n$ sea el máximo de los correspondientes $n_0$ , $n_1$ y $n_2$ . Ahora bien, si $m,\stackrel{\sim}{m}\,\geq 2n+1$ hay tres casos para $d_X(b_m,b_{\stackrel{\sim}{m}})$
- $m$ y $\stackrel{\sim}{m}$ son ambos impar. En este caso, $d_X(b_m,b_{\stackrel{\sim}{m}})$ tiene la forma $d_X(a_k,a_{k+t})$ para algunos $t\geq0$ y algunos $k\geq n\geq n_0$ . A través de $(1)$ Esto implica $d_X(b_m,b_{\stackrel{\sim}{m}})\leq \epsilon/2\leq \epsilon$ .
- $m$ y $\stackrel{\sim}{m}$ son ambos pares. Esto es similar al caso anterior.
-
$m$ y $\stackrel{\sim}{m}$ son paridades diferentes. Para este caso, supongamos que $m\leq \stackrel{\sim}{m}$ y que $m$ es par; las demás situaciones pueden tratarse de forma similar. Bajo estos supuestos, $d_X(b_m,b_{\stackrel{\sim}{m}})$ tiene la forma $d_X(a_k,\alpha_{k+t})$ para algunos $t\geq 0$ y $k\geq n$ . Entonces:
$$d_X(b_m,b_{\stackrel{\sim}{m}})\leq \underbrace{d_X(a_k,a_{k+t})}_{\text{I}}+\underbrace{d_X(a_{k+t},\alpha_{k+t})}_{\text{II}}$$
$\text{I}$ es $\leq \epsilon/2$ vía $(1)$ mientras que $\text{II}$ es $\leq \epsilon/2$ vía $(3)$ . De ello se deduce que $d_X(b_m,b_{\stackrel{\sim}{m}})\leq \epsilon$ lo que completa la prueba. $\square$
Según la alegación, la ampliación $\overline{f}$ de $f$ está bien definida.
Podría mostrar $\overline{f}$ es continua después.
