Para un ideal $I\lhd R$ en un anillo conmutativo $R$, sea $ann(I)$ el anulador de $\{x\in R\mid xI=\{0\}\}$. Un anillo conmutativo $R$ se dice que es un anillo dual si para cada ideal $I$ de $R$, $ann(ann(I))=I.
¿Cuáles son ejemplos de anillos conmutativos, locales y duales con dimensión de Krull distinta de cero cuyo radical nulo $N$ satisface $ann(N) \nsubseteq N$? (¿O es esto posible?!)
Me sorprendería si no fueran posibles ejemplos.
Una gran cantidad de anillos conmutativos, locales y duales que he encontrado (muchos de ellos se remontan a los artículos de Hajarnavis y Norton) resultan ser de dimensión cero, por lo que su radical de Jacobson (el ideal maximal) es nulo, y $ann(N) \subseteq N$ trivialmente (siempre y cuando $N$ sea distinto de cero, lo cual es el caso en estos ejemplos. De lo contrario, estaríamos viendo un campo).
Los únicos ejemplos que he visto que no son $0$-(Krull) dimensionales se basan en una construcción que utiliza un dominio de valoración $D$, su cuerpo de fracciones $Q$, y el módulo $D$ de $M=Q/D$ en una extensión trivial $R=D(+)M$ cuyos ideales están linealmente ordenados. El problema con esta construcción es que $0(+)M=N$ es el radical nulo, $N$ es un módulo fiel a $D$, y $N^2=\{0\}$, lo que implica que $ann(N)=N$ (en $R).
Además de esa construcción, no estoy seguro de cómo producir anillos duales locales con dimensión de Krull distinta de cero.
(Nota: para mí, local significa "tiene un ideal maximal único", sin suposiciones noetherianas).
0 votos
Puede que me esté perdiendo algo: ¿no es cierto que cualquier campo es un anillo local y dual? Entonces, los campos formarían una familia de ejemplos.
0 votos
@Pierre-GuyPlamondon Lo que dijiste es cierto, pero un campo tiene dimensión de Krull cero, por lo que no cumple con el requisito de tener dimensión de Krull distinta de cero.
0 votos
Eso es cierto. No veo otro ejemplo en este momento. ¿Quizás la condición en la dimensión de Krull debería ser agregada en la declaración de tu pregunta?
0 votos
@Pierre-GuyPlamondon Oh, lo que quieres decir. De hecho, olvidé que los campos son excepcionales en mi discusión ya que el aniquilador de N no es adecuado. Tienes razón en que tengo que eliminarlos manualmente. Entre los no campos, la dimensión de Krull > 0 es necesaria, y eso es lo que había estado pensando. Gracias por darte cuenta antes de que fuera demasiado lejos. En preguntas con muchas hipótesis, es muy molesto haber omitido un detalle como ese.
0 votos
Para aquellos que siguen: Lo he publicado en otro sitio también en mathoverflow. Actualmente estoy intentando ofrecer una recompensa en esa versión de la pregunta.