Juego especial de 64 cartas para 2 jugadores. ¿Quién tiene ventaja?

Question

Dos personas (llámalas E y F), deciden jugar a un juego de cartas especial. Utilizan una baraja especial que es una baraja estándar. $52$ baraja de cartas, pero con $12$ tarjetas adicionales añadidas. Puedes pensar en ellas como $3$ rangos adicionales, cada uno con $4$ trajes. Así pues, los nuevos rangos (en orden ascendente) son $123456789TJQKABC$ (T = diez). Rangos $2$ a través de $A$ son los rangos normales que se encuentran en una baraja de cartas estándar. $A$ se considera el rango justo por encima de rey y nunca el mismo que $1$ para este juego. Hemos añadido un nuevo bajo $1$ rango que precede a $2$ y añadimos $2$ nuevos altos rangos ( $B$ y $C$ ) después del $A$ (As). Así que para cada mano, barajamos bien y luego repartimos sólo la mitad ( $32$ de $64$ ) de las tarjetas. Son cartas comunitarias compartidas entre E y F. Es decir, tanto E como F utilizan las mismas $32$ cartas repartidas para determinar los ganadores. Tanto E como F pueden ganar en la misma mano varias veces.

E obtiene una ganancia por cada aparición de una cuádruple repartida en orden, incluyendo múltiples ganancias por mano, como por ejemplo $77772439999$ que contaría como $2$ gana para E. El mejor caso para E sería algo como $11112222333344445555666677778888$ que sería $8$ gana.

F obtiene una victoria si $5$ se reparten cartas en orden (como $23456$ ). Las rectas envolventes como $ABC12$ no son una victoria para F. Sólo las rectas ascendentes son victorias para F. Para algo como $234567$ que cuenta como una doble victoria para F ya que hay $2$ rectas superpuestas ( $23456$ y $34567$ ). El mejor caso para F sería entonces $24$ gana en una sola mano ( $123456789TJQKABC123456789TJQKABC$ ). Para que a F le resulte aún más fácil ganar, le asignaremos un multiplicador de puntos. A cada victoria (como se ha descrito anteriormente) se le asignarán puntos. E obtiene $8$ puntos por cada victoria, pero F obtiene $15$ puntos por cada victoria.

Así que el mejor caso para E sería $64$ puntos en una sola mano, pero F puede conseguir hasta $360$ puntos en una sola mano.

Si no hay ganador en una mano, simplemente se devuelven las cartas al mazo, se barajan bien y se reparte una nueva mano.

Entonces, ¿quién tiene la ventaja de puntos a largo plazo y por cuánto?

Answer 1

Empecemos por E. Numeramos las cartas de la mano del 1 al 32. Sea $$X_i = \begin{cases} 1 &\text{if there are four of a kind starting at card i}\\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$ para $i = 1,2, \dots ,29$ . Entonces $$\Pr(X_i = 1) = \frac{3}{63} \cdot \frac{2}{62} \cdot \frac{1}{61}$$ y el número esperado de "victorias" por mano para E es $$E(\sum_{i=1}^{29} X_i) = \sum_{i=1}^{29} E(X_i) = 29 \cdot \frac{3}{63} \cdot \frac{2}{62} \cdot \frac{1}{61} \approx 0.0007303$$ Así que la puntuación esperada de E es de $8 \times 0.0007303 \approx 0.005842$ .

Ahora para F. Sea $$Y_i = \begin{cases} 1 &\text{if there is a 5-card straight starting at card i} \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$ para $i = 1, 2, \dots ,28$ . Primero, la carta en i debe estar en el rango de 1 a 12 para que sea posible una escalera; luego, las siguientes 4 cartas deben alinearse apropiadamente. Así que $$\Pr(Y_i = 1) = \frac{12}{16} \cdot \frac{4}{63} \cdot \frac{4}{62} \cdot \frac{4}{61} \cdot \frac{4}{60}$$ y el número esperado de "victorias" por mano para F es $$E(\sum_{i=1}^{28} Y_i) = \sum_{i=1}^{28} E(Y_i) = 28 \cdot \frac{12}{16} \cdot \frac{4}{63} \cdot \frac{4}{62} \cdot \frac{4}{61} \cdot \frac{4}{60} \approx 0.0003760$$ Así que la puntuación esperada de F es de $15 \times 0.0003760 \approx 0.005641$ .

Por lo tanto, la puntuación esperada de E es un poco mayor que la de F (0,005842 frente a 0,005641); pero el juego debe de ser aburrido de jugar, porque la mayor parte del tiempo nadie puntúa.