Evalúe $\oint_C \frac{3}{z + 1 + i}dz$ a lo largo del círculo $|z| = 2$

Question

Evalúe $$\oint_C \frac{3}{z + 1 + i}dz$$ a lo largo del círculo $|z| = 2$

La solución que vi decía lo siguiente:

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El integrando no es holomorfo en $z = -1-i$ y este punto $(-1, -1)$ se encuentra dentro $C$ . Ponga $z-z_0 = re^{it}$ donde $z_0 = -1-i$ así que $dz = ire^{it}$ . Así que $$\oint \frac{3}{z+1+i}dz = \oint \frac{3}{re^{it}}ire^{it}dt = 3i\int_0^{2\pi}dt = 6\pi i$$

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Esta fue la solución de mi profesor al problema anterior. Puedo ver que el profesor "puso" $z+1+i = re^{it}$ ¿pero cómo es posible? Porque en primer lugar $r$ ni siquiera está definido y, en segundo lugar $2 \in C$ pero $2+ 1 + i$ ciertamente no está en $C$ .

Por ejemplo, una parametrización del círculo $C = \{z \in \mathbb{C} \ | \ |z| = a\}$ viene dada por la función holomorfa $f : [0, 2\pi] \to C$ definido por $f(t) = ae^{it}$ entonces para cualquier punto $z \in C$ tenemos $z= f(t) = ae^{it}$ para algunos $t \in [0, 2\pi]$ .

Lo que ha hecho mi profesor más arriba no parece correcto. ¿Cómo sería una solución correcta? Tomando la parametrización $z = 2e^{it}$ no ayuda en este caso creo porque entonces terminaríamos con $$\frac{6ie^{it}}{2e^{it}+1+i}$$ como el integrando (que estaríamos integrando desde $t=0$ a $t=2\pi$

Answer 1

Tenga en cuenta que Teorema de Cauchy , $$\oint_{|z|=2} \frac{3}{z+1+i}dz=\oint_{\gamma} \frac{3}{z+1+i}dz$$ para cualquier curva simple de orientación positiva $\gamma$ que contienen el punto $-1-i$ . Ahora, cuando el profesor "set" $z+1+i=re^{it}$ en realidad cambió el camino de la integración sustituyendo la curva cerrada $|z|=2$ con un círculo centrado en $-1-i$ con radio arbitrario $r>0$ .

Answer 2

Puedes hacerlo por las malas y quedarte con integración de contornos $$\int\limits_{\gamma}f(z)dz=\int\limits_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma'(t)dt$$ y dado $\gamma(t)=2e^{it}$ deberíamos tener $$\int\limits_{|z|=2} \frac{3}{z+1+i}dz=\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{3}{2e^{it}+1+i}\cdot 2ie^{it} dt=...$$ pero, aquí está el truco $\left(2e^{it}+1+i\right)'=2ie^{it}$ y otro Así pues $$...=\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{3}{2e^{it}+1+i} d\left(2e^{it}+1+i\right)= 3\operatorname{Log}\left(2e^{it}+1+i\right)\biggr\rvert_{0}^{2\pi}=\\ 3\left(\ln\left|2e^{i2\pi}+1+i\right|+iArg\left(2e^{i2\pi}+1+i\right) -\ln\left|2e^{i\cdot 0}+1+i\right|+iArg\left(2e^{i\cdot 0}+1+i\right)\right)=\\ 3\left(\ln\left|3+i\right|+iArg\left(2e^{i2\pi}+1+i\right) -\ln\left|3+i\right|+iArg\left(2e^{i\cdot 0}+1+i\right)\right)=\\ 3i\left(Arg\left(2e^{i2\pi}+1+i\right) -Arg\left(2e^{i\cdot 0}+1+i\right)\right)=3i(2\pi)$$

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O de forma muy sencilla, utilice Fórmula integral de Cauchy $$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z|=2}\frac{f(z)}{z-a}dz$$ donde $f(z)=3$ y esto $$3=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z|=2}\frac{3}{z+1+i}dz$$