Continuaré desde donde Daoust se detuvo. Las integrales son, en efecto, un poco desordenadas. Así que queremos evaluar $$ \int_{S_A} x^t B x \, {\rm d}^nx = \left(\det \Lambda \right)^{-\frac{1}{2}}\int_S \xi^t B' \xi \, {\rm d}^n\xi = \left(\det \Lambda \right)^{-\frac{1}{2}} \int_S \xi_i b'_{ij} \xi_j \, {\rm d}^n\xi $$ donde $B'=\Lambda^{-\frac{1}{2}}U^t B U \Lambda^{-\frac{1}{2}}$ y $\xi$ está relacionado con $x$ mediante la transformación $\xi = \Lambda^{\frac{1}{2}} U^t x$ . $\Lambda$ es la matriz diagonal de $A$ y $U$ la matriz ortogonal correspondiente con los vectores propios como columnas. Introducimos ahora las coordenadas esféricas $$ \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \\ \vdots \\ \xi_{n-1} \\ \xi_n \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} \cos\phi_1 \\ \sin \phi_1 \cos\phi_2 \\ \sin\phi_1 \sin\phi_2 \cos \phi_3 \\ \vdots \\ \sin\phi_1 \cdots \sin\phi_{n-2} \cos\phi_{n-1} \\ \sin \phi_1 \cdots \sin\phi_{n-2} \sin\phi_{n-1}\end{pmatrix} $$ y escribe \begin{align} &\int_S \xi_i b'_{ij} \xi_j \, {\rm d}^n\xi \\ = &\int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \cdots \int_0^\pi \xi_i b'_{ij} \xi_j \, r^{n-1} (\sin \phi_1)^{n-2} (\sin \phi_2)^{n-3} \cdots \sin \phi_{n-2} \, {\rm d}\phi_1 {\rm d}\phi_2 \cdots {\rm d}\phi_{n-2} {\rm d}\phi_{n-1} {\rm d}r \, . \end{align} En $r$ -integral puede hacerse trivialmente y conduce a un factor global $\frac{1}{n+2}$ . Para las integrales angulares consideremos primero $j>i$ tal que $\xi_i$ contribuye con un factor $\cos \phi_i$ . Porque $j>i$ , $\xi_j$ contiene siempre un factor $\sin \phi_i$ de modo que la integral sobre $\phi_i$ $$ \int_0^\pi (\sin \phi_i)^{n-i} \cos \phi_i \, {\rm d}\phi_i = 0 \qquad {\rm for \quad} i=1,2,...,n-1 \, . $$ Para $i=n-1$ la integral en realidad va de $0$ a $2\pi$ pero no importa.
Por lo tanto, los únicos términos que contribuyen a la integral son los de $i=j$ . En este caso $(i<n)$ tenemos \begin{align} c_i(n) = &\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \cdots \int_0^\pi \left( \sin\phi_1 \sin\phi_2 \cdots \sin\phi_{i-1}\cos \phi_i \right)^2 (\sin \phi_1)^{n-2} (\sin \phi_2)^{n-3} \cdots \sin \phi_{n-2} \, {\rm d}\phi_1 {\rm d}\phi_2 \cdots {\rm d}\phi_{n-2} {\rm d}\phi_{n-1} \\ =&\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \cdots \int_0^\pi (\sin \phi_1)^{n} (\sin \phi_2)^{n-1} \cdots (\sin \phi_{i-1})^{n-i+2} (\cos \phi_i)^2 (\sin \phi_i)^{n-i-1} (\sin \phi_{i+1})^{n-i-2} \cdots \sin \phi_{n-2} \, {\rm d}\phi_1 {\rm d}\phi_2 \cdots {\rm d}\phi_{i-1} {\rm d}\phi_{i} {\rm d}\phi_{i+1} \cdots {\rm d}\phi_{n-2} {\rm d}\phi_{n-1} \, . \end{align} Escribir $(\cos \phi_i)^2=1-(\sin \phi_i)^2$ todas las integrales son de la forma $$ \int_{0}^\pi (\sin \phi)^n \, {\rm d}\phi = 2^{-n} \pi \begin{pmatrix} n \\ \frac{n}{2} \end{pmatrix} = B\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right) $$ - donde para impar $n$ el coeficiente binomial se interpreta como la continuación analítica - excepto el $\phi_{n-1}$ integral que da como resultado \begin{align} i<n-1: \qquad &\int_0^{2\pi} {\rm d}\phi_{n-1} = 2\pi \\ i=n-1: \qquad &\int_0^{2\pi} (\cos \phi_{n-1})^2 \, {\rm d}\phi_{n-1} = \pi \, . \end{align} Todos juntos por $i<n$ la integral es por tanto \begin{align} c_i(n) = 2^{-\left(\frac{n(n-3)}{2}+2i\right)} \, \pi^{n-1} \, \begin{pmatrix} n \\ \frac{n}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n-1 \\ \frac{n-1}{2} \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} n-i+2 \\ \frac{n-i+2}{2} \end{pmatrix} \izquierda[ 2^2 \begin{pmatrix} n-i-1 \\ \frac{n-i-1}{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n-i+1 \\ \frac{n-i+1}{2} \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} n-i-2 \\ \frac{n-i-2}{2} \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{align} aunque no he intentado simplificar esta expresión.
Para $i=n$ del mismo modo tenemos \begin{align} c_n(n) &= \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \cdots \int_0^\pi (\sin \phi_1)^{n} (\sin \phi_2)^{n-1} \cdots (\sin \phi_{n-2})^{3} (\sin \phi_{n-1})^2 \, {\rm d}\phi_1 {\rm d}\phi_2 \cdots {\rm d}\phi_{n-2} {\rm d}\phi_{n-1} \\ &= 2^{-\left(\frac{n(n+1)}{2}-2\right)} \, \pi^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ \frac{n}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n-1 \\ \frac{n-1}{2} \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} que es lo mismo que $c_{n-1}(n)$ .
Juntando todo obtenemos $$ \int_S \xi_i b'_{ij} \xi_j \, {\rm d}^n\xi = \frac{1}{n+2} \sum_{i=1}^n c_i(n) \, b'_{ii} \, . $$
Actualización: Acabo de descubrir que todos los $c_i(n)$ son de hecho iguales a $c_n(n)$ como se ve por inducción \begin{align} c_{i+1}(n)&=\frac{\int_0^\pi (\sin \phi_{i+1})^{n-i-2} (\cos \phi_{i+1})^{2} \, {\rm d}\phi_{i+1}}{\int_0^\pi (\sin \phi_{i+1})^{n-i-2} \, {\rm d}\phi_{i+1}} \frac{\int_0^\pi (\sin \phi_{i})^{n-i+1} \, {\rm d}\phi_{i}}{\int_0^\pi (\sin \phi_{i})^{n-i-1} (\cos \phi_{i})^{2}\, {\rm d}\phi_{i}} \, c_i(n)\\ &=\frac{1-\frac{B\left(\frac{n-i+1}{2},\frac{1}{2}\right)}{B\left(\frac{n-i-1}{2},\frac{1}{2}\right)}}{\frac{B\left(\frac{n-i}{2},\frac{1}{2}\right)}{B\left(\frac{n-i+2}{2},\frac{1}{2}\right)}-1} \, c_i(n) \\ &=\dots \\ &= c_i(n) \, . \end{align}
$c_n(n)$ a su vez puede simplificarse considerablemente $$ c_n(n)=\begin{cases} \frac{\pi^k}{k!} = \frac{(2\pi)^k}{(2k)!!} \qquad {\rm if} \qquad n=2k \\ \frac{2(2\pi)^k}{(2k+1)!!} \qquad {\rm if} \qquad n=2k+1 \end{cases} \, . $$ Esto se puede escribir como $$ c_n(n) = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \qquad n=2,3,4,... $$ que también simplifica el resultado a una bonita expresión $$ \int_S \xi_i b'_{ij} \xi_j \, {\rm d}^n\xi = \frac{c_n(n)}{n+2} \sum_{i=1}^n b'_{ii} = \frac{c_n(n)}{n+2} \, {\rm Tr}\left(B'\right) = \frac{c_n(n)}{n+2} \, {\rm Tr}\left(BA^{-1}\right) \, . $$
$c_n(n)$ es en realidad el volumen del $n$ -bola de radio $1$ . En efecto, para $B'=I$ el resultado de la integral es simplemente \begin{align} \int_S \xi_i \xi_i \, {\rm d}^n\xi &= S_{n-1} \int_0^1 r^{n+1} \, {\rm d}r = \frac{S_{n-1}}{n+2} \\ &=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \frac{n}{n+2}= \frac{2 \, \pi^{\frac{n}{2}}}{(n+2) \, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \end{align} donde $S_{n-1}$ es la superficie del $n$ -esfera unitaria.
