Sea $f \colon X \to X$ sea un sistema dinámico topológico. Escriba $|\operatorname{Fix}(f^n)|$ para el número de puntos fijos de la $n$ -composición doble de $f$ . Entonces el Función zeta de Ruelle se define como $$\zeta(s) = \exp \bigg( \sum_{n \geq 1} |\operatorname{Fix}(f^n)| \frac{s^n}{n}\bigg).$$ Contrasta con la Función zeta de Riemann definido mediante la fórmula $$\zeta(s) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{-s}}.$$ Según tengo entendido, llamamos función zeta a algo que se parece a la función zeta de Riemann. Pero estas dos funciones no se parecen en nada. ¿Cómo puedo ver la similitud? Supongo que tengo que hacer algún tipo de sustitución inteligente para compararlas, pero no veo cómo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Quizá puedas ver mejor la conexión a partir de las fórmulas del producto de las dos funciones zeta.
Para la función zeta de Riemann, tenemos
$$\zeta(s) = \prod_{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}$$
y para la función zeta de Ruelle, tenemos
$$\zeta(s) = \prod_{\gamma \text{ periodic orbit}}\frac{1}{1-s^{|\gamma|}}$$
donde $|\gamma|$ es la longitud de la órbita $\gamma$ (el período primo de sus puntos constitutivos).
Al menos estas fórmulas se parecen mucho en la forma a las fórmulas de la suma, por supuesto todavía hay una diferencia en que, para una, la variable es un exponente que aparece en el denominador de los términos multiplicativos, y en la otra sólo aparece como base de una potencia.
