Valores propios de la matriz $(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}$

Question

$M_{[i],[j]}=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}$ donde $1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n$ y $1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n$ puede considerarse un $\left(n\atop k\right)\times\left(n\atop k\right)$ matriz cuadrada dimensional, con índices $[i],[j]=[i_1,i_2,...,i_k],[j_1,j_2,...,j_k]$ .

Experimentando en Maple para casos concretos de baja dimensión, todos sus valores propios son cero excepto uno, que toma el valor $\left(n\atop k\right)$ . ¿Qué teorema o lema puedo citar a este efecto para el caso general, y en qué libro o artículo?

Esto surgió en algunos cálculos de campos cuánticos fermiónicos. Lo único que realmente me importa es si esta matriz es semidefinida positiva, lo cual es bastante claro desde el punto de vista de la matemática experimental y debido a la antisimetría, así que si es más fácil citar la semidefinición positiva, por favor, siéntete libre de hacerlo en su lugar.

Answer 1

Si numeramos los $[i_1,i_2,\ldots,i_k]$ indexar tupes de $1$ a $\binom{n}{k}$ entonces la propiedad importante es que existe una función $\sigma:\{1,2,\ldots,\binom{n}{k}\}\to\{-1,1\}$ tal que $M_{ij}=\sigma(i)\sigma(j)$ .

Cada columna de la matriz es entonces igual a la primera fila o a su negativo, por lo que el rango de la transformación lineal asociada es unidimensional y está generado por la primera columna, $(\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma\binom{n}{k})$ . Por lo tanto, la primera columna debe ser un vector propio; el cálculo explícito descubre fácilmente que su valor propio es igual al número de columnas.

Cada otros (hasta proporcionalidad) vector propio $v$ debe tener un valor propio $0$ porque $Mv$ se encuentra entonces en la intersección del rango unidimensional y el subespacio geneado por $v$ que es $\{0\}$ .