Matemáticas de conjuntos de potencia

Question

Si dados los siguientes conjuntos $A = \{1,2,3\}$ y $B = \{3,4,5\}$ los conjuntos de potencia de cada uno son los siguientes: $$\mathfrak P(A) = \{\emptyset,(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)\}\\ \mathfrak P(B) = \{\emptyset, (3),(4),(5),(3,4),(3,5),(4,5),(3,4,5)\}$$

¿Qué es la

• $\mathfrak P(A) \cap \mathfrak P(B)$
• $|\mathfrak P(A \cup B)|$
• $|\mathfrak P(A) \cup \mathfrak P(B)|$

Mi conjetura para la intersección uno el primero es sólo $\{3\}$ y ${\emptyset}$ porque sólo se utilizan elementos en ambos.
No estoy seguro de los dos siguientes. Entiendo cómo funcionan las series de fuerza, pero tengo curiosidad por saber cuál es la diferencia entre las series de fuerza y las de fuerza. $\mathfrak P(A \cup B)$ y $\mathfrak P(A) \cup \mathfrak P(B)$ . ¿Hay alguna diferencia?
¿Cómo abordamos este tipo de problemas?

Answer 1

Su afirmación es correcta ya que $$\mathfrak P(A) \cap \mathfrak P(B) = \mathfrak P(A\cap B) = \mathfrak P(\{3\}) = \{\emptyset, \{3\}\}$$ Ahora para los otros dos ya que usted ya escribió $\mathfrak P(A)$ y $\mathfrak P(B)$ escriba $\mathfrak P(A\cup B) = \mathfrak P(\{1,2,3,4,5\})$ y comparar con $\mathfrak P(A) \cup \mathfrak P(B)$ . ¿Qué nota?

Utilizando la inclusión-exclusión podemos ver que $$\begin{align*} |\mathfrak P(A) \cup \mathfrak P(B)| & = |\mathfrak P(A)| + |\mathfrak P(B)| - |\mathfrak P(A\cap B)| \\ &= 2^{|A|} + 2^{|B|} - 2^{|A\cap B|} \\ & = 2^3 + 2^3 - 2^1 = 8 + 8 - 2 = 14 \end{align*}$$ Por otra parte $$|\mathfrak P(A\cup B)| = 2^{|A\cup B|} = 2^5 = 32$$

Answer 2

En primer lugar sugeriría la notación $2^S$ como notación para "conjunto de potencias de S". ¿Por qué?

Porque el conjunto de potencia de $S$ , $2^S$ tiene $2^{|S|}$ elementos.

$2^A \cap 2^B = \{\emptyset,\{3\}\}$ ya que ambos elementos están incluidos en $A$ y $B$ .

$A \cup B = \{1,2,3,4,5\}$

El conjunto de potencias de $A \cup B$ debe tener $2^5 = 32$ elementos ya que hay 5 elementos en $A \cup B$ :

$2^{A \cup B} = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,3,4\},\{1,3,5\},\{1,4,5\},\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,4,5\},\{3,4,5\},\{1,2,3,4\},\{1,2,3,5\},\{1,2,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\},\{1,2,3,4,5\}\}$

El conjunto de potencias de $A$ tiene $2^3 = 8$ elementos (lo mismo para el conjunto de potencia de $B$ ). Por lo tanto, la unión tiene un máximo de 16 elementos (dos menos ya que $\emptyset$ y $\{3\}$ se incluyen en ambos):

$2^A \cup 2^B = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{4\},\{5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\},\{3,4,5\}\}$

Cuándo incluir un conjunto a $2^A$ ?

Siempre que todos los elementos del conjunto sean elementos de $A$ es decir, un subconjunto de $A$ .