Consideremos un sistema mecánico clásico cuyos observables son funciones suaves $C^\infty(X)$ en una variedad de Poisson $X$ . El álgebra de observables se denotará como $A$
A continuación, podemos definir los estados como funciones lineales de valor real en esta álgebra de observables, ver una entrada en nLab. :
Un estado clásico es una función lineal $\rho: A \to \mathbb R$
- que es positivo en el sentido de que para todo $a \in A$ tenemos que
- y que se normaliza en que $\rho(1) = 1$
A continuación, procede a la definición de estado puro:
un estado puro es un estado que no sólo es un mapa lineal, sino incluso un homomorfismo de álgebra asociativa $\rho : A \to \mathbb R$ .
Después se hace una declaración notable:
I $(X,\{-,-\})$ ... entonces los estados puros corresponden precisamente a los puntos de la $X$ . Así, cada punto de $X$ i estado "puro" que el sistema mecánico definido por $(X,\{-,-\})$ puede estar, mientras que un estado general $\rho : A \to R$ i dichos estados específicos.
Lamentablemente, no he podido encontrar esta afirmación en las referencias facilitadas en nLab. Podría alguien sugerirme alguna fuente que corrobore la afirmación anterior?
Lo que me molesta, es que los estados puros, al ser funciones lineales, deben admitir una estructura de álgebra con adición y suma observables. ¿Significa esto que existe una estructura de álgebra natural para los puntos de una variedad?
Estaba seguro, que una suma de dos puntos no debería tener sentido, como lo explicó Qiaochu Yuan en esta respuesta.
En cuanto a fuentes adicionales, el libro de Peter Bongaarts Teoría Cuántica. Un enfoque matemático afirma que existe
... un teorema notable, desafortunadamente en un preimpresión inédita, que afirma que dos variedades $\mathcal M_1$ y $\mathcal M_2$ son difeomorfos si y sólo si los correspondientes algeb $C^\infty(\mathcal M_1)$ y $C^\infty(\mathcal M_2)$ son isomorfos, y que además una variedad $\mathcal M$ c álgebra de funciones $C^\infty(\mathcal M)$ .
El libro no explica esta "reconstrucción". El preprint inédito es Thomas, E.G.F.: Caracterización de una múltiple por el $*$ -de su $C^\infty$ funciones. Preprint Mathematical Institute, University of Groningen, aunque aparentemente no hay un acceso fácil a este trabajo.
