sobre el número de raíces de polinomios armónicos

Question

Tal vez no sea un término estándar, un polinomio armónico es $h_{n,m}(z,\bar{z})=f_n(z)+\overline{g_m(z)}$ donde $f$ y $g$ son polinomios en $z\in\mathbb{C}$ de grados $n,m$ Podemos suponer que $n\geq m$ .

Entonces, ¿cuántas raíces de la ecuación $h_{n,m}(z,\bar{z})=0$ ¿están ahí?

He oído decir que tiene al menos $n$ raíces utilizando $\textit{Argument Principle}$ .

¿Es correcto? No sé cómo aplicar este teorema. Tengo un examen de $z^2-\bar{z}=0$ , $z^2-\bar{z}+1=0$ En estos casos la conclusión es válida, pero no sé cómo obtener el resultado general.

¿Sería alguien tan amable de darme algunas pistas sobre este problema? y ¿sería alguien tan amable de mostrarme cómo resolver tales ecuaciones en $\textit{Mathematica}$ ?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Tiene razón si $n>m$ ou $n=m$ y los coeficientes de grado superior de $f$ y $g$ tienen valores absolutos diferentes (las raíces deben contarse con sus multiplicidades, por supuesto). Sin embargo, $z^2+z+1+\bar z^2$ no tiene raíces porque cada raíz $z$ debe ser real ( $z^2+\bar z^2$ es siempre real) pero $2x^2+x+1>0$ para todos $x\in\mathbb R$ .

Answer 2

Hay una conjetura planteada por Wilmshurst en 1998, que dice que cuando $1\leq m< n-1$ entonces $f$ tiene como máximo $m(m-1)+3n-2$ ceros. Hasta ahora se han demostrado pocos casos, por ejemplo $m=1$ entonces $f$ tiene como máximo $3n-2$ ceros demostrados por Khavinson y Swiatek. Sin embargo, cuando $m=n-3,n>=4$ existen contraejemplos para demostrar que los ceros son más que la valencia máxima según esta conjetura. Así que esta conjetura puede que no sea válida para todos los casos de $m,n$ .