Continuidad de una función en un dominio mixto discreto-conectado

Question

Considere la siguiente función $f: \mathbb{R} \times \left\{0,1\right\} \rightarrow \mathbb{R}$

$$ f(x,y)=\begin{cases}x, & (y=0) \\ k, & (y=1) \end{cases} $$

donde $k$ es un número real. Mi pregunta es: ¿Es esta función continua en su dominio (sé que si $x$ es fija, es continua en $\left\{0,1\right\}$ )? Si es así, ¿cuál sería la forma más fácil de demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

Sí, es continuo. Dejemos que $U$ sea cualquier conjunto abierto en $\Bbb R$ . Si $k\notin U$ entonces $f^{-1}[U]=U\times\{0\}$ abierto en $\Bbb R\times\{0,1\}$ y si $k\in U$ entonces $f^{-1}[U]=(U\times\{0\})\cup(\Bbb R\times\{1\})$ que también está abierto en $\Bbb R\times\{0,1\}$ .