Deje $K$ ser un kernel estocástico para un conjunto $S$ equipada con un countably generadas $\sigma$-Álgebra $B(S)$, es decir,
$K:S\times B(S)\rightarrow [0,1]$
tal que $K(\cdot,A)$ es una función medible para todos los $A\in B(S)$ $K(x,\cdot)$ es una medida de probabilidad para todos los $x\in S$.
Ahora $K$ opera linealmente en $M_{1}(S)$, el espacio de medidas de probabilidad en el espacio medible $(S,B(S))$, estableciendo para toda probabilidad medidas de $\mu $
$K\mu := \int_S K(y,\cdot)\mu(dy)$.
Pregunta: Es el recíproco también es cierto, que cada operador lineal en $M_{1}(S)$, el espacio de medidas de probabilidad en $(S,B(S))$, nos da un estocástico kernel nuevo?
Cada operador lineal O puede ser entendida como la asignación de
$O:S \times B(S)\rightarrow[0,1]$
$\hphantom{O:}(x,A)\mapsto (O\delta_x)(A)$,
donde $\delta_x$ es de Dirac medida. Así que básicamente se reduce a la cuestión de si esta última asignación es medible en x, o si hay lineal de Operadores en $M_{1}(S)$, por lo que la asignación no es medible en x.
Yo intente como esto: Cada probabilidad de medida $\mu$ $(S,B(S))$ puede ser escrita como:
$\mu = \int_S \delta_y \mu(dy)$ (Espero que esto sea correcto, pero no puedo recordar haber visto un argumento de antes), entonces tenemos
$O\mu = O\int_S \delta_y \mu(dy)=\int_S O\delta_y \mu(dy)$ (la última igualdad se tiene para finito de sumas de dinero debido a la linealidad de la O, pero no sé por qué, que es aplicable a las integrales).
Esto no puede ser definido, si $O\delta_y$ no es mensurable como una función de la $y$, luego sigue la $O\mu$ hay probabilidad de medida. Contradicción.
Aclaración: Por lineal operador $O$ me refiero a que para todos los $\mu,\nu\in M_{1}(S)$ y todos los $0\leq \alpha \leq 1$ tenemos $O(\alpha \mu + (1-\alpha)\nu)=\alpha O\mu + (1-\alpha)O\nu$ (gracias @ByronSchmuland para señalar esto).
