kernel estocástico como operador lineal

Question

Deje $K$ ser un kernel estocástico para un conjunto $S$ equipada con un countably generadas $\sigma$-Álgebra $B(S)$, es decir,

$K:S\times B(S)\rightarrow [0,1]$

tal que $K(\cdot,A)$ es una función medible para todos los $A\in B(S)$ $K(x,\cdot)$ es una medida de probabilidad para todos los $x\in S$.

Ahora $K$ opera linealmente en $M_{1}(S)$, el espacio de medidas de probabilidad en el espacio medible $(S,B(S))$, estableciendo para toda probabilidad medidas de $\mu$

$K\mu := \int_S K(y,\cdot)\mu(dy)$.

Pregunta: Es el recíproco también es cierto, que cada operador lineal en $M_{1}(S)$, el espacio de medidas de probabilidad en $(S,B(S))$, nos da un estocástico kernel nuevo?

Cada operador lineal O puede ser entendida como la asignación de

$O:S \times B(S)\rightarrow[0,1]$

$\hphantom{O:}(x,A)\mapsto (O\delta_x)(A)$,

donde $\delta_x$ es de Dirac medida. Así que básicamente se reduce a la cuestión de si esta última asignación es medible en x, o si hay lineal de Operadores en $M_{1}(S)$, por lo que la asignación no es medible en x.

Yo intente como esto: Cada probabilidad de medida $\mu$ $(S,B(S))$ puede ser escrita como:

$\mu = \int_S \delta_y \mu(dy)$ (Espero que esto sea correcto, pero no puedo recordar haber visto un argumento de antes), entonces tenemos

$O\mu = O\int_S \delta_y \mu(dy)=\int_S O\delta_y \mu(dy)$ (la última igualdad se tiene para finito de sumas de dinero debido a la linealidad de la O, pero no sé por qué, que es aplicable a las integrales).

Esto no puede ser definido, si $O\delta_y$ no es mensurable como una función de la $y$, luego sigue la $O\mu$ hay probabilidad de medida. Contradicción.

Aclaración: Por lineal operador $O$ me refiero a que para todos los $\mu,\nu\in M_{1}(S)$ y todos los $0\leq \alpha \leq 1$ tenemos $O(\alpha \mu + (1-\alpha)\nu)=\alpha O\mu + (1-\alpha)O\nu$ (gracias @ByronSchmuland para señalar esto).

Answer 1

El resultado es false en esta generalidad.

Corregir algunos $z\in S$ y definir $O\mu=\mu_c+\mu_d(S)\delta_z$ donde $\mu_d$ $\mu_c=\mu-\mu_d$ son discretos y continuos partes de $\mu$, respectivamente. A continuación, $O$ satisface su condiciones, pero no puede ser dada por un núcleo, si hay un no-discretas de probabilidad de medida $\nu$$S$.

¿Por qué no?

Si $O$ está dado por el kernel $K$$O\mu=\int \mu(dx) K(x,\cdot)$. Establecimiento $\mu=\delta_x$ muestra $K(x,\cdot)=O\delta_x$.

Si $\nu$ no tiene ninguna pieza suelta, entonces $O\nu=\nu$ pero $\int\nu(dx) K(x,\cdot)=\delta_z\neq \nu.$

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En orden para $O$ a ser representado por un núcleo que se necesitan dos cosas:

1. $x\mapsto O\delta_x$ deben ser mensurables de$S$$M_1(S)$.
2. $O\mu=\int\mu(dx) O\delta_x$ por cada $\mu\in M_1(S)$.

Mi contraejemplo arriba satisface 1, pero no de 2.