¿Existe una estructura de colectores en un espacio de mapas conformes?

Question

Agradecería mucho cualquier información o indicación sobre lo siguiente:

1) Fijar un subconjunto abierto $U$ de $\mathbb{CP}^1$ . a) ¿El conjunto de todos los mapas holomorfos de $U$ a $\mathbb{C}$ (con la topología compacto-abierto) tienen la estructura de una variedad en algún sentido? b) ¿Existe siquiera la noción de estructura diferenciable, y cuál es el espacio tangente en un punto típico (por ejemplo, en la identidad)? ¿El subconjunto de mapas que son conformes en $U$ (es decir, que tengan allí una derivada no evanescente) heredan alguna estructura sensata?

2) ¿Es posible permitir que el dominio $U$ para variar, por ejemplo, ¿es posible considerar una colección de todos los mapas de todos los dominios posibles (digamos simplemente conectados)?

(Me encuentro con estos mapas en el contexto de los conjuntos de bucles conformes (CLEs), que son familias aleatorias de (contablemente muchos, a.s.) bucles en $U$ y para expresar ciertas construcciones sobre estos CLE parece que hay que considerar la "diferenciación" en el espacio de los mapas conformes).

Muchas gracias.

Actualización. Quizá algunas reflexiones más: Si arreglo $U$ sea, por ejemplo, el disco unitario abierto, entonces el espacio de mapas holomorfos sobre $U$ forma ciertamente un espacio vectorial topológico. Llamémoslo $H$ . ¿Es esto un colector en algún sentido (Frechet, supongo)? ¿Es suave (bajo qué noción de diferenciabilidad)?

A continuación, si me limito a los mapas que son conformes en $U$ llamemos a esto $A$ parece que no consigo un espacio vectorial; aunque creo que $A$ es un subconjunto cerrado de $H$ (en la topología compacta-abierta), no siendo conforme en un punto de $U$ es una condición abierta(?). Pero, ¿qué se puede decir de la topología de $A$ ? ¿Tiene $A$ contienen un subespacio que es un espacio afín modelado en algún espacio de funciones holomorfas? (Es decir, ¿"conforme + holomorfo = conforme"?)

Answer 1

Un comentario rápido: Supongo que quieres $U$ sea "no trivial", es decir, no igual a $\mathbb{C}$ si lo fuera, entonces la colección de tales mapas debería ser de dimensión infinita (en particular, contendría todos los polinomios).

Así que supongamos que $U$ no es trivial. También supondré que $U$ está simplemente conectada, aunque estoy bastante seguro de que se puede prescindir de esta suposición. Así, $U$ es biholomorfo al disco unitario en $\mathbb{C}$ por lo que supondremos que es el disco unitario.

Los automapas holomorfos del disco unitario contienen el grupo $G = PSL_2(\mathbb{R})$ (en realidad, éste es su grupo de automorfismos). Se trata de un verdadero 3-manifold, así que si te limitas a biholomorphisms, eres bueno.

Sin embargo, también contiene los mapas $z \mapsto z^k$ por lo que todos los conjugados de estos mapas por $G$ . Puede que haya algo más que pueda decir al respecto, pero de momento no estoy seguro de qué.