Combinaciones de cuadrícula con números positivos y negativos

Question

Si hay un $n$ por $n$ matriz donde cada elemento es 1 o -1, ¿cuántas matrices únicas hay tales que cada fila y cada columna multipliquen a 1?

He resuelto el caso trivial de $n = 2$ que es 2. Sin embargo, para $n$ No estoy seguro de cómo encontrar una forma sistemática de contar. He intentado usar el hecho de que se puede transformar una matriz correcta existente en otra matriz correcta seleccionando 4 puntos que forman un rectángulo para que todos se vuelvan negativos, pero no estoy seguro de cómo podría contarlos de forma organizada.

Answer 1

Considere cualquier $(n-1) \times (n-1) $ menor.
Se puede rellenar con cualquier opción de $ \pm 1$ .

Afirmación: Las celdas sin rellenar están determinadas unívocamente por la columna / fila en la que se encuentran, y no hay conflicto.

Prueba: Hazlo tú mismo.

Corolario: Hay $ 2^{(n-1)^2 } $ formas de rellenar la matriz.

Answer 2

Cada fila puede tener $1$ 's & $-1$ 's en $2^{n-1}$ formas. Rellene el primer $n-1$ filas y luego completar la última fila para dar a cada columna una paridad positiva. Así que hay $\color{red}{2^{(n-1)^2}}$ formas de construir estas matrices.