¿Un modelo de aritmética contenido en un modelo de aritmética es un segmento inicial?

Question

Es bastante fácil demostrar que si $\mathbb{N}_1$ es un modelo no estándar de los axiomas de Peano, entonces existe una incrustación canónica $\mathbb{N} \to \mathbb{N}_1$ y tenemos el teorema de que si $x \in \mathbb{N}_1$ y $y \in \mathbb{N}$ tal que $x < y$ entonces $x \in \mathbb{N}$ .

¿Y si tuviéramos dos modelos no estándar $\mathbb{N}_1 \subseteq \mathbb{N}_2$ ¿idealmente una incrustación elemental? ¿Debe ser cierto que si $x \in \mathbb{N}_2$ y $y \in \mathbb{N}_1$ tal que $x < y$ entonces $x \in \mathbb{N}_1$ ?

También tengo curiosidad por las cuestiones análogas para los modelos de análisis real o de ZFC; por ejemplo, comparar el conjunto de enteros en dos modelos de análisis no estándar.

Answer 1

Permítanme responder a la primera pregunta.

Podemos tener modelos de $\mathsf{PA}$ , $M\subsetneq N$ con $M$ cofinal en $N$ . De hecho, $M$ y $N$ ni siquiera necesitan tener la misma cardinalidad. Sin embargo, se puede demostrar a partir del teorema Davis-Matiyasevich-Putnam-Robinson (sobre el décimo problema de Hilbert) que ya la suposición $M\subseteq N$ implica que $M$ es $\Sigma_0$ elemental en $N$ . Esto y tener $M$ cofinal en $N$ basta para implicar que, de hecho $M$ es una subestructura elemental de $N$ .

Se trata de un resultado básico sobre modelos de aritmética. El libro de Kaye debería tener los detalles. Gaifman mejoró esto mostrando que siempre que $M$ y $N$ son modelos de $\mathsf{PA}$ con $M\subseteq N$ entonces, dejando $L$ sea el cierre hacia abajo de $M$ en $N$ Eso es, $$ L=\{a\in N\mid \exists b\in M\,(N\models a\le b)\}, $$ tenemos que $L$ también es un modelo de $\mathsf{PA}$ , $M$ es una subestructura elemental de $L$ y $N$ es una extensión final de $L$ .

Answer 2

Andrés ya ha respondido a la pregunta para la aritmética; pero permítanme dar otra respuesta, que evita utilizar modelos incontables o cualquier hecho profundo sobre los modelos de cualquiera de las teorías en cuestión.

Tomemos un modelo no estándar contable $\mathcal{M}$ de aritmética, y considerar alguna partición de $\mathcal{M}$ en $A\sqcup B$ con cada elemento de $A$ debajo de cada elemento de $B$ tal que $A$ no tiene elemento mayor. (Esto puede hacerse ya que $\mathcal{M}$ no es estándar). Aumentemos ahora el lenguaje aritmético con constantes para cada elemento de $\mathcal{M}$ y un nuevo símbolo constante $c$ y que $T$ sea el diagrama completo de $\mathcal{M}$ aumentada por axiomas que dicen que $c$ está por encima de $A$ y más abajo $B$ . Por compacidad, $T$ tiene un modelo, y claramente $\mathcal{M}$ es (isomorfo a) una subestructura elemental de ese modelo, pero no es un segmento inicial.

Obsérvese que este argumento no sólo sirve para la aritmética: se aplica a cualquier teoría $T$ con un subconjunto definitivamente ordenado, y que tiene modelos en los que ese subconjunto tiene una partición $A\sqcup B$ como arriba - al igual que el análisis (los reales) y $ZFC$ (los ordinales) además de la aritmética, así que esto responde a todas tus preguntas.

Answer 3

Andrés Caicedo ha respondido a la pregunta tal como se planteó, sin embargo, permítanme señalar que se puede recuperar una forma de la propiedad bajo supuestos adicionales sobre el par de modelos. A saber $\mathbb N_1$ sea un modelo de AP, y $\mathbb N_2$ un modelo de aritmética Robinson que es definible en $\mathbb N_1$ es decir, existe un conjunto definible $D\subseteq\mathbb N_1$ y funciones definibles $\oplus,\odot\colon D^2\to D$ tal que $\langle D,\oplus,\odot\rangle$ es (isomorfo a) $\mathbb N_2$ . Entonces existe una incrustación definible (única) de $\mathbb N_1$ en un segmento inicial de $\mathbb N_2$ .