Cuestión de convergencia en Probabilidad.

Question

Sea $\lambda_n = 1/n$ para $n=1,2,\ldots$ . Sea $X_n \sim Poi(\lambda_n)$ . Demuestre que a) $X_n \rightarrow_P 0$ . b) Sea $Y_n = nX_n$ . Demuestre que $Y_n \rightarrow_P 0$ (donde $\rightarrow_{P}$ denota convergencia en Probabilidad)

La parte a) es relativamente sencilla, ya que Sabemos que $\mathbb{E}(X_n) = \lambda_n = 1/n$ y $\mathrm{var}(X_n) = \lambda_n = 1/n$ . Sabemos que desde $X_n >0$ que $|X_n| = X_n$ . Entonces a partir de la desigualdad de Chebyshevs sabemos que $$P(X_n >\epsilon) \leq \frac{\mathrm{var}(X_n)^2}{\epsilon^2} = \frac{1}{n^2\epsilon^2} \rightarrow 0\;\mathrm{as\;}n \rightarrow \infty. $$

Para la parte b) no puedo utilizar este mismo enfoque ya que $\mathbb{var}(Y_n) = n^2*1/n = n$ . También sé que la convergencia en media cuadrática implica convergencia en probabilidad pero $\mathbb{E}(Y_n - 0)^2 = n^2(\mathbb{E}(X_n^2)) = n^2(1/n + 1/n^2) \not \rightarrow \infty$ como $n \rightarrow \infty$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Una forma de demostrar que $nX_n \to 0$ en probabilidad es utilizar funciones características. Recordemos que $Ee^{itX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{it})}$ . Por lo tanto $Ee^{itnX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{int})} \to 1$ como $ n \to \infty$ . Esto implica que $nX_n \to 0$ en la distribución, lo que equivale a la convergencia en probabilidad.

Answer 2

En caso de que no esté familiarizado con las funciones características (todavía), puede utilizar el hecho de que $$P(nX_{n}=0)=P(X_{n}=0)=e^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 $$ ya que la distribución de Poisson es una distribución discreta con valores en $\mathbb{N} \cup \{0\}$