¿Interpretación geométrica de la multiplicación de los números complejos?

Question

Siempre me han enseñado que una forma de ver los números complejos es como un espacio cartesiano, donde el real parte es la $x$ y el componente imaginario parte es la $y$ componente.

En este sentido, estos números complejos son como vectores, y pueden sumarse geométricamente como los vectores normales.

Sin embargo, ¿existe una interpretación geométrica para la multiplicación de dos números complejos?

He probado dos de prueba, $3+i$ y $-2+3i$ que se multiplican por $-9+7i$ . Pero no parece encontrar ningún significado geométrico.

¿Tiene algún significado geométrico la multiplicación de los números complejos?

Answer 1

Supongamos que multiplicamos los números complejos $z_1$ y $z_2$ . Si estos números se escriben en forma polar como $r_1 e^{i \theta_1}$ y $r_2 e^{i \theta_2}$ el producto será $r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$ . Equivalentemente, estamos estirando el primer número complejo $z_1$ por un factor igual a la magnitud del segundo número complejo $z_2$ y luego girar el estirado $z_1$ en el sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo $\theta_2$ para llegar al producto. Hay varios sitios web que amplían esta intuición con gráficos y más explicaciones. Véase, por ejemplo, este sitio http://www.suitcaseofdreams.net/Geometric_multiplication.htm

Answer 2

Suma los ángulos y multiplica las longitudes.

Answer 3

Sí, hay un significado geométrico simple, pero es necesario convertir a la forma polar de los números complejos para verlo con claridad. $3+i$ tiene magnitud $\sqrt{10}$ y ángulo sobre $18^\circ$ ; $-2+3i$ tiene magnitud $\sqrt{13}$ y ángulo sobre $124^\circ$ . La multiplicación de los números complejos multiplica las dos magnitudes, dando como resultado $\sqrt{130}$ , y suma los dos ángulos, $142^\circ$ . En otras palabras, puedes ver el segundo número como una escala y una rotación del primero (o el primero como una escala y una rotación del segundo).