¿Existe un topos $\mathcal E$ tal que, para cualquier espacio topológico sobrio $X$ los morfismos geométricos $$\mathrm{Sh}\left(\mathcal O\left(X\right)\right)\rightarrow \mathcal E$$ se corresponden con los esquemas cuyo espacio topológico subyacente es $X$ ?
Respuesta
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Interesante pregunta. No, tal topos $\mathcal{E}$ no puede existir.
Fije su espacio topológico favorito $X$ que no puede convertirse en un esquema, es decir, tal que para ninguna gavilla local de anillos $\mathcal{O}_X$ la pareja $(X,\mathcal{O}_X)$ es un esquema. Por ejemplo, los reales con su topología euclidiana (el único subespacio abierto de $\mathbb{R}^1$ que es un espacio espectral es el vacío).
Entonces no debería haber ningún morfismo geométrico $\mathrm{Sh}(X) \to \mathcal{E}$ . Sin embargo, podemos construir fácilmente tal morfismo, por ejemplo como la composición del morfismo único $\mathrm{Sh}(X) \to \mathrm{Sh}(\mathrm{pt})$ y el morfismo $\mathrm{Sh}(\mathrm{pt}) \to \mathcal{E}$ correspondiente a cualquiera de las numerosas estructuras de esquema en $\mathrm{pt}$ .
