¿De qué manera las secuencias exactas de ideales de Lie se integran en la categoría de grupos?

Question

Por favor, disculpe, una pregunta muy ingenua:

Supongamos que $g$ es un álgebra de Lie topológica sobre Q y $G$ = $exp(g)$ el grupo asociado

(tomar grupo libre sobre símbolos formales $exp(X)$ , X $\in$ $G$ e imponer todas las relaciones procedentes formalmente de la fórmula BCH).

Supongamos que tengo una secuencia exacta corta

$0\longrightarrow b_{1}\cap b_{2}\longrightarrow b_{1}\oplus b_{2}\longrightarrow g\longrightarrow 0$

de módulos g, pero especial en el sentido de que

• $g$ es el álgebra de Lie completa,
• $b_1$ , $b_2$ (y luego su intersección) se supone que son Lieja propia ideales (y no cualquier tipo de módulo g)
• y $b_1 + b_2 = g$ Esto puede ocurrir si $g$ es bastante raro

Me parece que (en algunos casos)/(siempre)/(¿nunca? ;-) tal secuencia debería inducir algo así como una secuencia exacta

1 -> A -> B -> G -> 1

(exacto en el sentido clásico obvio, está claro que los grupos no son una categoría abeliana...)

donde B podría ser algo así como el coproducto/producto libre de la normal normales asociados a los ideales de Lie b1, b2; y A el subgrupo asociado a la intersección o a la intersección de b1 y b2.

¿Es cierto o es un completo disparate? ¿Es trivialmente falso?

[tenga en cuenta que, aunque pueda parecerlo, lo hago pas quieren entrar la dirección de "integrar" g-módulos a G-módulos, me gustaría transferir descomposiciones de álgebras de Lie a 'descomposiciones' de grupos 'no lineales', signifique lo que signifique....]

Answer 1

No está exigiendo que el mapa $b_1 \oplus b_2 \to g$ sea un morfismo de álgebra de Lie, sino simplemente que sea un mapa de $g$ -módulos, lo que creo que presenta un problema. La derivada de la secuencia exacta de grupos

$1 \to A \to B \to G \to 1$

debe ser con el que empezaste para que esté razonablemente relacionado. Pero el hecho de que $B \to G$ es un homomorfismo de grupo significa que $b_1 \oplus b_2 \to g$ (dado por $(x,x') \mapsto x+x'$ ) es un morfismo de álgebra de Lie. Esto equivale a pedir que $b_1$ y $b_2$ entre sí, ya que necesitamos $[(x,x'), (y,y')] = [x,y] + [x',y']$ para todos $x,y \in b_1$ y $x',y' \in b_2$ . En este caso podríamos tomar $B = B_1 \times B_2$ donde $B_i = \exp(b_i)$ para $i=1,2$ y $A$ sería el núcleo del mapa $B_1 \times B_2 \to G$ dado por $(b,b') \mapsto bb'$ Supongo.

Creo que puede haber un problema con poner una estructura diferenciable en el producto libre de dos grupos de Lie, pero nunca he visto esto mencionado antes.