Cómo integrar $\tan(x)^n$ ?

Question

En primer lugar, he utilizado wolfram alpha y me da la respuesta en términos de una secuencia hipergeométrica.

Soy estudiante de grado 12, y estoy tratando de investigar sobre esta integral para mi evaluación. Podría alguien explicarme cómo puedo pasar de la LHS a la RHS:

$$\int \tan^n(x)\, dx = \frac {\tan^{n + 1}(x)\; _2F_1(1, \frac {n + 1}2, \frac {n + 3}2, -\tan^2(x))}{n + 1}\, + \,\text {constant}$$

Donde, como siempre, $_2F_1$ denota el Función hipergeométrica

Answer 1

Observe que $$(\tan x)'=\tan^2x+1$$ para que

$$\tan^n x=\tan^{n-2} x\,(\tan x)'-\tan^{n-2}x.$$

Esto nos da una relación de recurrencia que termina con el integrando $\tan x$ o $1$ en función de la paridad de $n$ .

$$I_n=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$$

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Esto conduce a expresiones mejores que las dadas por Alpha, incluso con un exponente numérico.

Por ejemplo

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+tan%5E8x

frente a

$$\frac{\tan^7 x}7-\frac{\tan^5 x}5+\frac{\tan^3 x}3-\tan x+x.$$

Answer 2

Dependiendo de los límites, se puede utilizar la función Beta: $$B(m+1,n+1)=2\int_0^{\pi/2}\cos^{2m+1}(x)\sin^{2n+1}(x)dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$ Para fuera de este rango se puede utilizar eso: $$B(z;a,b)=\int_0^zx^{a-1}(1-x)^{b-1}dx=z^a\sum_{n=0}^\infty\frac{(1-b)_n}{n!(a+n)}z^n$$ Todo esto puede consultarse aquí: http://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html

http://mathworld.wolfram.com/IncompleteBetaFunction.html

Answer 3

Consideremos el caso en que $n=2k+1$ es impar: podemos escribir $$ \int\tan^nx\,dx=\int\tan^{2k+1}x\,dx= \int\frac{(\sin^2x)^k}{\cos^{2k+1}x}\sin x\,dx= -\int\frac{(1-\cos^2x)^k}{\cos^{2k+1}x}\,d(\cos x) $$ que es elemental. Ejemplo con $k=2$ reducimos a \begin{align} -\int\frac{(1-\cos^2x)^2}{\cos^5x}\,d(\cos x) &=-\int\left(\frac{1}{\cos^5x}-\frac{2}{\cos^3x}+\frac{1}{\cos x}\right)\,d(\cos x)\\ &=\frac{1}{4\cos^4x}-\frac{1}{\cos^2x}-\log\lvert\cos x\rvert+c \end{align}

Para $n=2k$ incluso, es un poco diferente: $$ \int\tan^nx\,dx=\int\frac{\sin^{2k}x}{\cos^{2k}x}\,dx= \int\frac{(1-\cos^2x)^k}{\cos^{2k}x}\,dx $$ y el problema se reduce a calcular $$ \int\frac{1}{\cos^{2m}x}\,dx $$ que puede tratarse con la sustitución $t=\tan x$ . Ejemplo con $m=2$ ya que $$ \cos^2x=\frac{1}{1+\tan^2x} $$ tenemos $$ \int\frac{1}{\cos^4x}=\Bigl[t=\tan x,dt=\frac{1}{\cos^2x}\,dx\Bigr]= \int(1+t^2)\,dt=t+\frac{t^3}{3}+c=\tan x+\frac{1}{3}\tan^3x\,dx $$ En general, para $m\ge1$ con la misma sustitución, $$ \int\frac{1}{\cos^{2m}x}=\int(1+t^2)^{m-1}\,dt $$