Probar una igualdad combinatoria: $\binom{r}{r} + \binom{r+1}{r} + \cdots + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r+1}$

Question

¿Cómo demostrar lo siguiente? ¿Debo usar la inducción u otra cosa?

Sea $n$ y $r$ sean enteros positivos con $n \ge r$ . P $$\binom{r}{r} + \binom{r+1}{r} + \cdots + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r+1}.$$

Intento de salida:

Paso básico: ${\binom{1}{1}} = {\binom{2}{2}}$ cierto.

¿Qué hago ahora?

Answer 1

He aquí una prueba combinatoria. Consideremos el problema de elegir $r+1$ números de $1,2,\ldots,n+1$ donde la repetición no está permitida y el orden no es importante.

• Primero hazlo de la forma obvia. El número de maneras es el RHS.
• Entonces hágalo eligiendo inicialmente el mayor de los $r+1$ números.

A ver si puedes completar los detalles.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\begin{align} \binom ab+\binom a{b+1}&=\binom{a+1}{b+1}\\ \Rightarrow \binom ab&=\binom{a+1}{b+1}-\binom a{b+1}\end{align}$$

Por lo tanto $$\begin{align} \binom ir&=\binom {i+1}{r+1}-\binom i{r+1}\\ \sum_{i=r}^n\binom ir&=\sum_{i=r}^n\binom {i+1}{r+1}-\sum_{i=r}^n\binom i{r+1}\\ &=\sum_{i=r+1}^{n+1}\binom {i}{r+1}-\sum_{i=r+1}^n\binom i{r+1}\\ &=\binom {n+1}{r+1}\qquad\blacksquare \end{align}$$