Cálculo del grupo de Galois de polinomios $x^n-a \in \mathbb{Q}[x]$

Question

Tengo algunos problemas con este ejercicio. No sé si se puede hacer. Consideremos el polinomio $ x^n - a \in \mathbb{Q} $ ¿Puedo calcular el grupo de Galois de este sobre $\mathbb{Q}$ ? Tal vez tener una buena "base".

El campo de división viene dado por $\mathbb{Q}(\zeta_n,\alpha)$ donde $\zeta_n$ es una raíz primitiva de la unidad , y $\alpha$ es un número tal que $\alpha^n = a $ . Bueno, en primer lugar, quiero un $\underline{"good basis"}$ para el campo de división. En el sentido de que los polinomios mínimos, de los elementos contiguos, son diferentes (en este caso el cálculo del grupo de galois es muy sencillo).

Por ejemplo un caso fácil, es cuando $a>0$ entonces $(a)^{\frac{1}{n}} \in \mathbb{R}$ por lo que es evidente que el polinomio mínimo de $(a)^{\frac{1}{n}} , \zeta_n$ son distincs, y he terminado. Si $n$ es impar entonces , también es fácil, ya que una raíz también es real, por ejemplo $x^3-3 $ la raíz real es $ \root 3 \of { - 3} = - \root 3 \of 3 $ por lo que puedo considerar el campo de división como $\mathbb{Q}(-\root 3 \of 3 , \zeta_3 )=\mathbb{Q}(\root 3 \of 3 , \zeta_3 )$ . El caso difícil es cuando $n$ es par y $a<0$ por ejemplo $x^8+20$ o $x^4+20$ en algunos casos como en el segundo, hay casos particulares ya que existen algoritmos para el grupo de Galois de los cuarticos, pero en general. ¿Se puede hacer?

$\underline{Remark}$ Estoy buscando un $\underline{"good basis"}$ para el campo de división. En el sentido de que los polinomios mínimos, de los elementos contiguos, son diferentes ya que en este caso el cálculo del grupo de galois es muy sencillo.

Answer 1

Sea $K=\mathbb{Q}(\zeta_n)$ y $L=\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})$ . Entonces el campo de división de $X^n-a$ viene dado por $F=KL$ y tiene grado $$ [F:\mathbb{Q}]=[KL:\mathbb{Q}]=\frac{[K:\mathbb{Q}][L:\mathbb{Q}]}{[K\cap L:\mathbb{Q}]}=\frac{\phi(n)n}{2^s}, $$ donde $s\ge 0$ satisface $2^s\mid \phi(n)$ y $K\cap L=\mathbb{Q}(\sqrt[2^s]{a})$ . Así que la cuestión es que tenemos que determinar la intersección $\mathbb{Q}(\zeta_n)\cap \mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})$ . Esta intersección a menudo no es sólo $\mathbb{Q}$ Obsérvese, por ejemplo, que $\sqrt{p}\in \mathbb{Q}(\zeta_p)$ para todos los primos $p\equiv 1 \bmod 4$ . Una respuesta completa para esto (y toda la pregunta) ha sido publicada por Jacobson y Velez en "The Galois group of a radical extension of the rationals", en 1990. Sea $G$ sea el grupo de Galois de $X^n-a$ . Es evidente que $G$ se incrusta de forma natural en el producto semidirecto del grupo de Galois $(\mathbb{Z}/n)^{\times}$ de $X^n-1$ y el grupo de automorfismo $Aut_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})\cong \mathbb{Z}/n$ .

Proposición [Jacobson, Vélez]: Uno tiene $G\cong \mathbb{Z}/n \rtimes (\mathbb{Z}/n)^{\times}$ sólo si $n$ es impar, o $n$ es incluso y $\sqrt{a}\not\in \mathbb{Q}(\zeta_n)$ .

El caso requiere atención especial $n=2^k$ ; véase también esta pregunta MO .

Answer 2

El polinomio mínimo de $\zeta_n$ y $\sqrt[n]a$ son casi siempre diferentes. De hecho, cada raíz de $\mathbb C$ de la $n$ polinomio ciclotómico tiene valor absoluto $1$ mientras que $\sqrt[n]a$ normalmente no lo ha hecho. Las únicas excepciones son $a=1$ y $a=-1$ . Para $a=1$ el campo de división es simplemente $\mathbb Q[\zeta_n]$ . Para $a=-1$ una solución para $x^n+1=0$ también es una solución para $x^{2n}-1=0$ por lo que el campo de división es simple $\mathbb Q[\zeta_{2n}]$ .

Answer 3

Algunas observaciones sobre este grupo específico de galois: Consideremos la extensión de campo $\mathbb{Q}(\zeta)|\mathbb{Q}$ y $\zeta$ una raíz primitiva de $X^{n} - 1 \in \mathbb{Q}[X]$ . Un hecho general de las extensiones de campos ciclotómicos es que en este caso: $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)|\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$ mientras que $|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}|=\varphi(n)$ . Sea $a \in \mathbb{Q}$ tal que $\sqrt[n]{a} \notin \mathbb{Q} $ entonces el campo de división de $X^n - a$ viene dada, como ya se ha dicho, por $$ \mathrm{SF}(X^n - a)=\mathbb{Q}(\zeta, \sqrt[n]{a}).$$ Además, el grupo de automorfismo de $ \mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})$ es cíclico de orden $[\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a}):\mathbb{Q}]=n$ de ahí $\mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Obsérvese que ambos grupos se incrustan en el grupo de Galois completo y además $\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a}) \cap \mathbb{Q}(\zeta)= \mathbb{Q} $ . Se podría sugerir entonces (siguiendo los teoremas de la teoría de galois) que los grupos de galois completos vienen dados por su producto, pero esto falla si consideramos $\mathrm{Gal}(X^4 - 5) \cong \mathrm{D}_{4} $ que no es un producto directo de grupos cíclicos. Sin embargo, si $ n=p $ es primo, entonces $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*}=\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}\triangleleft \mathrm{G}$ y puesto que $|\mathrm{G}|=p(p-1)$ podemos aplicar Schur-Zassenhaus porque para todos los primos $p$ $$ \mathrm{gcd}(|(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*}|, [G:(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*}]) =\mathrm{gcd}(p-1,p)=1. $$ Se obtiene un subgrupo $\mathrm{U} \subseteq \mathrm{G}$ tal que $\mathrm{G}\cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*}\ltimes \mathrm{U} $ y $|\mathrm{U}|=p $ de ahí $\mathrm{U}\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ por lo tanto $$\mathrm{Gal}(X^p-a) \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \ltimes \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. $$