¿Por qué acotado puntualmente no implica acotado uniforme?

Question

Estaba leyendo Principios del Análisis Matemático de Rudin, y me encontré con la definición 7.19, donde dice que una secuencia de funciones $f_n(x)$ está limitada puntualmente en E si existe una función de valor finito $\phi$ definida en E tal que $$ |f_n(x)| < \phi(x) $$ para x elemento de E, n = 1, 2 ,3 ... Mientras que $f_n$ está uniformemente acotado en E si existe un número M s.t. $|f_n(x)| < M$ para x elemento de E, n = 1, 2 , 3 ... Pero si definimos el conjunto U como los valores de $\phi(x)$ de nuestra primera definición y definir el sup del conjunto como R, entonces no obtenemos la segunda definición. ¿No significaría eso que acotado puntualmente implica acotado uniformemente?

Answer 1

La respuesta corta es: no es necesario que exista un número real que sea el sumo de los valores de $\phi(x)$ . Es posible que haya $\sup\{\phi(x)\mid x \in E\} = \infty$ . Si es así, no tiene suerte.

Answer 2

Este es un excelente ejemplo de una cuestión sutil que sigue surgiendo. La propiedad de estar acotada puntualmente asegura que para cada elemento de tu dominio de definición la secuencia de funciones está acotada en ese punto. Mientras que la acotación uniforme dice que existe un límite superior que se mantiene para cada elemento de su dominio.

Decidí responder a esta vieja pregunta porque tenía un pensamiento muy similar con respecto a La Principio de delimitación uniforme en mi clase de Análisis Funcional.
Otro punto que merece la pena mencionar es que éste es otro caso en el que los cuantificadores no conmutan. Otro ejemplo clásico es Convergencia uniforme vs Convergencia puntual