El axioma A de Tarski, la teoría de conjuntos MK y el axioma de elección global

Question

En un mensaje del 29 de marzo de 2008 editado en la lista FOM " AC y cardinales fuertemente inaccesibles ", Robert Solovay muestra que la llamada teoría de conjuntos Tarski-Grothendieckset puede axiomatizarse equivalentemente como: (1) ZFC + "Existe una clase propia de ordinales fuertemente inaccesibles" (2) ZFC + "Todo conjunto es miembro de un universo U de Grothendieck" (3) ZFC + "Todo conjunto es miembro de una clase de Tarski". Además, en el caso (3), es posible mostrar que el axioma A de Tarski añadido permite prescindir de los tres axiomas ZFC de Conjunto Potencia, de Infinito y de Elección, de modo que la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck puede axiomatizarse utilizando únicamente la siguiente lista de axiomas: Extensionalidad, Fundamento, Conjunto nulo, Conjunto par, Sustitución, Unión y Axioma A:

Primera pregunta: ¿Sería posible prescindir del axioma del conjunto par?

Supongamos ahora que cambiamos nuestra teoría básica de conjuntos de ZFC a la teoría de conjuntos MK (Morse-Kelley). En este contexto, un axioma de elección más natural es el axioma de elección global ("Existe un conjunto como bien ordenado en la clase universal V"), de modo que:

Pregunta 2: ¿Es posible derivar el axioma de elección global de la teoría de conjuntos (4) MK + "La clase de cardinales fuertemente inaccesibles es una clase propia", donde no suponemos el axioma de elección en MK ? Gérard Lang

Answer 1

La pregunta (1) se responde con la observación de que el emparejamiento se deduce fácilmente de la sustitución, una vez que existe un conjunto de dos elementos.

Para la pregunta (2), la respuesta es negativa. Afirmo que a partir de un supuesto de consistencia adecuado, es consistente que tengamos la versión de KM sin elección global, pero con AC para conjuntos, más una clase propia de cardinales inaccesibles. No se puede obtener elección global gratis de esta manera sólo a partir de una clase propia de cardinales inaccesibles.

La cuestión es que básicamente todos los métodos para producir modelos de teoría de conjuntos sin elección global funcionan bien con una clase adecuada de cardinales inaccesibles. Se puede empezar con un modelo de KM más una clase propia de cardinales inaccesibles, y luego realizar una iteración de clase de forzamiento de Cohen, y tomar lo que equivale a la extensión simétrica por esta construcción.

Por ejemplo, utilice el forzamiento de mi respuesta a la pregunta de Asaf Karagila, ¿Prueba ZFC que el universo es linealmente ordenable? Ese argumento produjo un modelo de GB+AC en el que la elección global fallaba, y no sólo eso, sino que el universo no era linealmente ordenable. Si el modelo básico tenía cardinales inaccesibles, éstos seguirían existiendo en la extensión. Esto responde a la versión Gödel-Bernays de la pregunta (2).

Pero has preguntado por la teoría de conjuntos de Kelley-Morse sin elección global. En este caso, no puedes usar sólo las clases definibles, sino que puedes tomar todas las clases que son definibles de primer orden con un parámetro de clase de modelo básico. Esto satisfará KM sin elección global (pero con AC) en la extensión, y todavía tendrá una clase apropiada de cardinales inaccesibles.