Un polinomio con coeficientes enteros que alcanza el valor $5$ en cuatro puntos distintos

Question

Existe un polinomio $f$ de coeficientes enteros tales que $\deg(f) \geq 4$ . Supongamos que hay cuatro números enteros $a,b,c,d$ para lo cual $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5$ . Demostrar que no hay ningún número entero $k$ para lo cual $f(k)=8$ - Me gustaría tener una explicación completa a la solución.

Answer 1

El polinomio $g(x)=f(x)-5$ tiene sus raíces en $a$ , $b$ , $c$ y $d$ . Esto significa que el polinomio $x-a$ divide $g(x)$ etc. Por lo tanto, obtenemos que

$$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+5$$

para algún polinomio $h(x)$ (que puede ser una constante). Dado que $\mathrm{deg}(f)\ge 4$ , $h(x)$ debe ser distinto de cero. Si ahora sustituimos en $f(k)=8$ obtenemos

$$8=h(k)\cdot (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)+5$$ $$3=h(k)\cdot (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)$$

Tenga en cuenta que $k-a$ etc. son números enteros distintos. Entonces tenemos $3$ como el producto de cuatro o más números enteros, con al menos cuatro de ellos distintos. Tres es primo, por lo que el mayor número de enteros distintos en que podemos factorizarlo es tres ( $-3\cdot -1 \cdot 1$ ).

Esto es una contradicción, por lo que no tenemos $f(k)=8$ .

Answer 2

Se puede escribir el polinomio como $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)f'+5$ . Sólo tenemos que demostrar $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)f'$ nunca es $3$ De hecho, nunca es primo porque para cada $k$ al menos dos de $(k-a),(k-b),(k-c),(k-d)$ no son $1$ o $-1$ (En caso de que ninguno de ellos $0$ )