encontrar el menor valor de $n$ tal $2017^{{2017}^{2017}}~~|~n!$

Question

Sea $n$ sea un número entero positivo. Hallar el mínimo del $n$ s $$2017^{{2017}^{2017}}~~|~n!$$

[Nótese que 2017 es un primo]

utiliza esta fórmula:

$$v_{2017}(n!)=\dfrac{n-S_{2017}(n)}{2016}$$ por lo que encontrar menos $n$ tal $$ n-S_{2017}(n)\ge 2017^{2017}$$ $S_{p}(n)$ denota la suma de los dígitos de base-p estándar de n, entonces Cómo encontrar este mínimo $n?$

Answer 1

idea Si $n=2017^{k}$ entonces $$\nu_{2017}(n!)=\sum_{j=1}^{k}\left\lfloor\frac{n}{2017^j}\right\rfloor=1+\dotsb +2017^{k-1}=\frac{2017^k-1}{2016}$$ Ahora quizás queramos $k$ tal que $$\frac{2017^k-1}{2016} \geq 2017^{2017}.$$

Nota: esto es sólo una idea que puede requerir un poco más de masaje para obtener el menor valor de $n$ .

Answer 2

Sea $n=2016 \times 2017^{2017}+2017 $ .
$S_{2017}(n)=2016+1=2017$ ,
$n-S_{2017}(n)=2016 \times 2017^{2017}+2017-2017=2016 \times 2017^{2017}$ ,

$$v_{2017}(n!)=\dfrac{n-S_{2017}(n)}{2016}=\dfrac{2016 \times 2017^{2017}}{2016}=2017^{2017}$$

No será difícil demostrarlo $n$ es óptima.