¿Por qué no hay un segundo octeto de bariones?

Question

Ignoremos temporalmente los giros. Si 3 denota la representación estándar de $SU(3)_F$ 1 la rep trivial, 8 la rep adjunta y 10 el cubo simétrico, entonces es bien sabido que

$$ 3 \otimes 3 \otimes 3 = 1 \oplus 8 \oplus 8 \oplus 10.$$

Interpretando los 3's como el espacio de estados de sabor up/down/strange para un quark, el cubo tensor se interpreta como el espacio de estados bariónicos que se pueden obtener combinando tres quarks ligeros. Obviamente el espín importa, pero al menos esto debería dar una clasificación de bariones modulo espín en $SU(3)_F$ -múltiplos.

Aquí hay dos octetos, pero en la literatura sólo he visto descrito uno de ellos. ¿Cuál es el segundo octeto?

Entiendo que la respuesta puede ser "es más complicado que eso".

Answer 1

Esta respuesta es básicamente equivalente a la propia respuesta del OP utilizando palabras ligeramente diferentes.

1. En primer lugar, necesitaremos una fórmula $$\dim (V^{\odot n})~=~\begin{pmatrix} n-1+\dim V \cr n \end{pmatrix} \tag{1}$$ para la dimensión del producto tensorial simétrico $V^{\odot n}$ de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ . La demostración de la fórmula (1) se deja como ejercicio.

2. En segundo lugar, necesitamos que el grupo sabor-espín $$\begin{align}H~:=~&SU(3)_F\times SU(2)_S\cr ~\cong~&\begin{pmatrix} SU(3)_F \cr & SU(2)_S \cr && 1\end{pmatrix}_{6\times 6}~~\cr ~\subseteq~& SU(6)~=:~G\end{align}\tag{2}$$ es un subgrupo de $SU(6)$ es decir, unitario $6\times 6$ matrices con determinante unitario. Esto significa que cualquier irrep de $G$ se descompone mediante normas de bifurcación a una suma directa de irreps para $H$ .

3. En tercer lugar, un quark $q$ se transforma bajo $H$ en la representación fundamental $${\bf 3} \otimes {\bf 2} ~\cong~{\bf 6},\tag{3}$$ que es isomorfo a la irrep fundamental de $SU(6)$ . A continuación postulamos que el $SU(6)$ es una simetría aproximada de la QCD. Los 3 quarks deben sentarse en el producto tensorial completamente simétrico ${\bf 6}^{\odot 3}$ . De este modo, cuando el antisimétrico $SU(3)_C$ camiseta de color ${\bf 1}_A$ se tiene en cuenta, la función de onda total para los 3 fermiones se vuelve totalmente antisimétrica, como debe ser, cf. el principio de exclusión de Pauli.

4. En cuarto lugar, descomponemos el producto tensorial de $H$ -irreps en una suma directa de $H$ -irreps $$\begin{align}{\bf 56}_S~\stackrel{(1)}{=}~&{\bf 6}^{\odot 3} \stackrel{(3)}{\cong}~\left({\bf 3} \otimes {\bf 2} \right)^{\odot 3}\cr ~\cong~&{\bf 3}^{\odot 3}\otimes {\bf 2}^{\odot 3}\oplus {\rm Adj}(SU(3)_F)\otimes {\bf 2} \cr \stackrel{(1)}{=}~&\underbrace{{\bf 10}_S}_{\begin{array}{c}\text{baryon}\cr\text{decuplet}\end{array}}\otimes \underbrace{{\bf 4}_S}_{j=\frac{3}{2}} \oplus \underbrace{\color{red}{{\bf 8}_M}}_{\begin{array}{c}\text{baryon}\cr\text{octet}\end{array}}\color{red}{\otimes} \underbrace{\color{red}{\bf 2}}_{j=\frac{1}{2}},\end{align}\tag{4}$$ donde hemos marcado el medio octeto de espín buscado $\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$ en rojo.

5. Ahora, OP quiere identificar el octeto de bariones en términos del producto tensorial no simetrizado $$\begin{align} {\bf 6}^{\otimes 3} \quad\cong\quad& \begin{array}{rcl} []& [] & [] \end{array} \quad\oplus 2\cdot\begin{array}{rl} []&[]\cr []\end{array} \quad\oplus\quad \quad\begin{array}{c} []\cr []\cr [~~] \end{array} \cr \quad\cong\quad&{\bf 56}_S \oplus 2\cdot {\bf 70}_M \oplus {\bf 20}_A .\end{align}\tag{5}$$ Del mismo modo, existe la regla de fusión original de OP para dar sabor $${\bf 3}^{\otimes 3}~\cong~{\bf 10}_S \oplus 2\cdot \color{red}{{\bf 8}_M} \oplus {\bf 1}_A,\tag{6}$$ y hay un Clebsch-Gordan regla de giro $${\bf 2}^{\otimes 3}~\cong~{\bf 4}_S \oplus 2\cdot \color{red}{\bf 2}.\tag{7}$$ Observa la multiplicidad de 2 en ambas ecuaciones (6) y (7). En términos del grupo sabor-espín $H$ no sólo hay 2, sino que en realidad $2\times 2=4$ octetos spin-half $\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$ Entonces, ¿por qué no hay 3 octetos bariónicos más? Calculamos: $$ \begin{align} ({\bf 3} \otimes & {\bf 2} )^{\otimes 3}\cr ~\cong~&{\bf 3}^{\otimes 3} \otimes {\bf 2}^{\otimes 3}\cr ~\stackrel{(6)+(7)}{\cong}&~\left({\bf 10}_S \oplus 2\cdot \color{red}{{\bf 8}_M} \oplus {\bf 1}_A\right) \otimes \left({\bf 4}_S \oplus 2\cdot \color{red}{\bf 2} \right)\cr ~\cong~& \underbrace{\left({\bf 10}_S \otimes {\bf 4}_S \oplus \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \right)}_{={\bf 56}_S} \cr &\oplus 2\cdot \underbrace{\left( {\bf 10}_S \otimes {\bf 2} \oplus {\bf 8}_M \otimes {\bf 4}_S \oplus \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \oplus {\bf 1}_A \otimes {\bf 2}\right)}_{={\bf 70}_M} \cr &\oplus \underbrace{\left( \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \oplus {\bf 1}_A \otimes {\bf 4}_S\right)}_{={\bf 20}_A}.\end{align} \tag{8}$$ Vemos que sólo 1 de los 4 octetos de medio espín $\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$ se sitúa en el producto tensorial sabor-espín totalmente simétrico ${\bf 6}^{\odot 3}$ según requiera el refinamiento del color. Esto responde a la pregunta del título de OP.

Referencias:

1. G. 't Hooft, Introducción a los grupos de Lie en física Notas de clase, p. 58. El archivo pdf está disponible ici .

2. J. Chyla, Quarks, partons y QCD, apuntes de clase, sección 2.7. El archivo pdf está disponible ici . (Sugerencia: Evans .)

Answer 2

Estas dos figuras son extractos de una página en : Introducción moderna a la física de partículas Fayyazuddin & Riazuddin, 2ª edición, 2000.

El primero muestra el conocido octeto del tensor antisimétrico mixto $\:\boldsymbol{8}\:$ mientras que el segundo muestra el octeto del tensor simétrico mixto $\:\boldsymbol{8'}\:$ . No sé qué partículas, si las hay, están representadas por este último octeto.

Véase también mi respuesta aquí : Simetría en términos de matrices . En este octeto $\:\boldsymbol{8}\:$ se produce por el tensor antisimétrico mixto $\:Y_{ijk}\:$ , véanse las ecuaciones (B.25) y (B.35), mientras que el octeto $\:\boldsymbol{8'}\:$ se produce por el tensor simétrico mixto $\:X_{ijk}\:$ , véanse las ecuaciones (B.24) y (B.37).

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Las cifras que figuran a continuación son extractos de : Introducción moderna a la física de partículas-Volumen 1: Teoría cuántica de campos y partículas , por Y.Nagashima, Edición 2010.

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En "QUARKS AND LEPTONS: Curso introductorio a la física de partículas moderna ', F.Halzen-A.Martin, Edición 1984, nos encontramos con lo siguiente referente al protón con espín: Tomamos los estados mixto-antisimétrico y mixto-simétrico
\begin{align} \mathrm p_{_A} & =\sqrt{\tfrac12}\left(\mathrm u \mathrm d- \mathrm d\mathrm u \right)\mathrm u \:\: \left\{\in \boldsymbol{8}_{_{MA}}\equiv \boldsymbol{8}\right\} \tag{2.60}\\ \mathrm p_{_S} & =\sqrt{\tfrac16}\bigl[\left(\mathrm u \mathrm d+ \mathrm d\mathrm u \right)\mathrm u-2\mathrm u \mathrm u \mathrm d \bigr]\:\: \left\{\in \boldsymbol{8}_{_{MS}}\equiv \boldsymbol{8'}\right\} \tag{2.62} \end{align} El Estado $\:\mathrm p_{_A} \:$ es el primer miembro del octeto $\:\boldsymbol{8}\:$ que se muestra en la primera figura, mientras que el estado $\:\mathrm p_{_S} \:$ es el primer miembro del octeto $\:\boldsymbol{8'}\:$ que se muestra en la segunda figura.

Se trata de multipletes producidos en $\:\rm SU(2)-$ isospín y por analogía el $\:\rm SU(2)-$ antisimétricos de espín, los multipletes simétricos se producen sustituyendo en (2.60), (2.62)
\begin{align} \mathrm u & \quad \Longrightarrow \quad \uparrow \nonumber\\ \mathrm d & \quad \Longrightarrow \quad \downarrow \tag{01} \end{align} así que \begin{align} \chi\left(M_A\right) & =\sqrt{\tfrac12}\left(\uparrow \downarrow\uparrow -\downarrow\uparrow\uparrow \right) \nonumber\\ \chi\left(M_S\right) & =\sqrt{\tfrac16}\left(\uparrow \downarrow\uparrow +\downarrow\uparrow\uparrow -2\uparrow\uparrow \downarrow \right) \tag{2.65} \end{align} A continuación, el protón con espín se deriva de \begin{equation} \vert \mathrm p\!\uparrow\, \rangle=\sqrt{\tfrac12}\bigl[\mathrm p_{_A}\chi\left(M_A\right)+\mathrm p_{_S}\chi\left(M_S\right) \bigr] \tag{02} \end{equation} donde \begin{align} \mathrm p_{_A}\chi\left(M_A\right) & \simeq \left(\mathrm u \mathrm d \mathrm u-\mathrm d \mathrm u \mathrm u\right)\left(\uparrow \downarrow\uparrow -\downarrow\uparrow\uparrow \right) \nonumber\\ & =\bigl(\mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm d\!\!\downarrow\!\mathrm u\!\!\uparrow -\mathrm u\!\!\downarrow\!\mathrm d\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\uparrow -\mathrm d\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\downarrow\!\mathrm u\!\!\uparrow +\mathrm d\!\!\downarrow\!\mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\uparrow \bigr) \tag{03} \end{align} y \begin{align} \mathrm p_{_S}\chi\left(M_S\right) & \simeq\left(\mathrm u \mathrm d\mathrm u + \mathrm d\mathrm u \mathrm u-2\mathrm u \mathrm u \mathrm d \right)\left(\uparrow \downarrow\uparrow +\downarrow\uparrow\uparrow -2\uparrow\uparrow \downarrow \right) \nonumber\\ & =\mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm d\!\!\downarrow\!\mathrm u\!\!\uparrow + \mathrm u\!\!\downarrow\!\mathrm d\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\uparrow-2 \mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm d\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\downarrow +\mathrm d\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\downarrow\!\mathrm u\!\!\uparrow +\mathrm d\!\!\downarrow\!\mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\uparrow +\cdots \tag{04} \end{align} y finalmente

\begin{align} \vert \mathrm p\!\uparrow\, \rangle & =\sqrt{\tfrac{1}{18}}\bigl[\mathrm u \mathrm u \mathrm d \left(\uparrow \downarrow\uparrow +\downarrow\uparrow\uparrow -2\uparrow\uparrow \downarrow \right)+\mathrm u \mathrm d \mathrm u \left(\uparrow\uparrow\downarrow +\downarrow\uparrow\uparrow -2\uparrow\downarrow \uparrow \right)+\mathrm d \mathrm u \mathrm u \left(\uparrow\downarrow \uparrow+\uparrow\uparrow\downarrow -2\downarrow \uparrow\uparrow \right)\bigr] \nonumber\\ &=\sqrt{\tfrac{1}{18}}\bigl[\mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\downarrow\!\mathrm d\!\!\uparrow +\mathrm u\!\!\downarrow\!\mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm d\!\!\uparrow -2\mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm u\!\!\uparrow\!\mathrm d\!\!\downarrow +\text{permutations}\bigr] \tag{2.71} \end{align}

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De las notas anteriores concluimos que el barión real $\:(1/2)^{+}\:$ octeto es una combinación de los dos octetos con simetría mixta $\:\boldsymbol{8},\boldsymbol{8'}$ .

Answer 3

Creo que he resuelto mi confusión, así que pensé que debía publicarlo como respuesta. La pregunta original no estaba bien planteada; espero que esto ayude a cualquier otra persona que tenga malentendidos similares.

Manteniendo el espín en la imagen, el espacio de estados para un quark individual es el producto tensorial del espacio de sabor tridimensional con la representación de espín bidimensional de SU(2). Sin embargo, esto no se considera como una representación de SU(3) x SU(2), sino como una representación de SU(6) que contiene este producto como subgrupo. En otras palabras, se pueden rotar los sabores en espines y viceversa. Como representación de SU(6), el cubo tensor de esta representación estándar de 6 dimensiones se descompone en trozos, uno de los cuales es el cubo simétrico. Se trata de una representación irreducible de 56 dimensiones. Ésta se descompone bajo el subgrupo SU(3) x SU(2) en una suma directa de dos trozos: uno es el decuplo SU(3) tensado con la representación (4-dimensional) de espín-3/2 de SU(2), el otro es la representación adjunta de SU(3) (el octeto) tensado con la representación de espín-1/2 de SU(2) (y de hecho 10 x 4 + 8 x 2 = 56).

Cuando te olvidas del espín, el octeto de espín-1/2 que aparece aquí es en realidad una mezcla de términos de los dos octetos SU(3) de la descomposición del cubo tensorial de la pregunta original. En otras palabras, la función de onda real de un protón es una suma de dos términos, uno que implica términos de un octeto SU(3) y otro que implica términos del otro (ambos tensados con funciones de onda de espín adecuadas).

Encontré estos notas de Jiří Chýla muy útil para aclarar mi malentendido.

Answer 4

Creo que la respuesta es que hay una representación octeto simétrica de sabor y una representación octeto antisimétrica de sabor, mientras que el decuplet es totalmente simétrico. Por lo tanto, cuando consideras la función de onda de espín y sabor de un barión para un barión octeto tienes: $\chi(spin)\cdot\phi(flavor)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\chi^{1/2}_s\cdot 8_s+\chi^{1/2}_a\cdot 8_a)$ . donde "s" denota simétrico y "a" antisimétrico. El superíndice 1/2 indica una partícula de espín 1/2.

Answer 5

Pensé que, tal vez, la solución del problema residiría en el hecho de que las dos representaciones octetas en las que se divide el producto tensorial 3x3x3 de SU(3) son dos representaciones equivalentes. Eso es lo que dice Chyla en sus notas. Así que una representación se puede obtener a partir de la otra realizando una rotación en el espacio de sabor, y los dos octetos son físicamente indistinguibles