¿Cuál es el campo eléctrico en un condensador de placas paralelas?

Question

Cuando hallamos el campo eléctrico entre las placas de un condensador de placas paralelas suponemos que el campo eléctrico de ambas placas es $${\bf E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{n.}$$ El factor de dos en el denominador procede del hecho de que existe una densidad de carga superficial a ambos lados de las placas (muy finas). Este resultado puede obtenerse fácilmente para cada placa. Por lo tanto, cuando las juntamos, el campo neto entre las placas es $${\bf E}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\hat{n}$$ y cero en el resto. Toma, $\sigma$ es la densidad de carga superficial en una sola cara de la placa, o $Q/2A$ ya que la mitad de la carga estará en cada lado.

Pero en un condensador real las placas son conductoras, y la densidad de carga superficial cambiará en cada placa cuando el otros placa se acerca a ella. Es decir, en el límite en que las dos placas se acercan, todos de la carga de cada placa debe estar en un solo lado. Si dejamos que $d$ denota la distancia entre las placas, entonces debemos tener $$\lim_{d \rightarrow 0}{\bf E}=\frac{2\sigma}{\epsilon_0}\hat{n}$$ que no concuerda con la ecuación anterior. ¿Dónde está el error en este razonamiento?

O más probablemente, ¿los autores de nuestros libros de texto asumen comúnmente que estamos en este límite, y que por eso el conductor se comporta como una lámina cargada perfectamente delgada?

Answer 1

Cuando se habla de un condensador ideal de placas paralelas, $\sigma$ suele denotar la densidad de carga de área de la placa en su conjunto, es decir, la carga total de la placa dividida por el área de la placa. No existe una $\sigma$ para la superficie interior y un $\sigma$ para la superficie exterior. O mejor dicho, la hay, pero la $\sigma$ utilizado en los libros de texto tiene en cuenta toda la carga de estas dos superficies, por lo que es la suma de las dos densidades de carga.

$$\sigma = \frac{Q}{A} = \sigma_\text{inside} + \sigma_\text{outside}$$

Con esta definición, la ecuación que obtenemos de la ley de Gauss es

$$E_\text{inside} + E_\text{outside} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$$

donde "interior" y "exterior" designan las regiones situadas en lados opuestos de la placa. Para una placa aislada, $E_\text{inside} = E_\text{outside}$ y por lo tanto el campo eléctrico está en todas partes $\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ .

Ahora, si otra placa de carga opuesta se acerca para formar un condensador de placas paralelas, el campo eléctrico en la región exterior (A en las imágenes de abajo) caerá esencialmente a cero, y eso significa que

$$E_\text{inside} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$$

Hay dos maneras de explicar esto:

• La explicación sencilla es que en la región exterior, los campos eléctricos de las dos placas se anulan. Esta explicación, que a menudo se presenta en los libros de texto de introducción, supone que se puede ignorar la estructura interna de las placas (es decir, placas infinitamente delgadas) y explota el principio de superposición.

  

• La explicación más realista es que esencialmente toda la carga de cada placa migra a la superficie interior. Esta carga, de densidad de área $\sigma$ está produciendo un campo eléctrico en una sola dirección, que por lo tanto tendrá una fuerza $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ . Pero cuando se utiliza esta explicación no superponer también el campo eléctrico producido por la carga en la superficie interior de la otra placa. Esas otras cargas son los terminadores de las mismas líneas de campo eléctrico producido por las cargas en esta placa; no están produciendo un separar contribución propia al campo eléctrico.

  

En cualquier caso, no es cierto que $\lim_{d\to 0} E = \frac{2\sigma}{\epsilon_0}$ .

Answer 2

La respuesta, muy breve pero quizás concisa, es que no importa en qué lado de la placa se encuentre la carga. El campo fuera de una placa cargada, conductora o no, es $E = \sigma/2\epsilon_0$ si la densidad superficial de ambos lados combinados es $\sigma$ . La placa ni siquiera tiene que ser fina.

Answer 3

Supongamos un campo uniforme $E$ . Aplicación de $\nabla \cdot D = Q$ y teniendo en cuenta que todos los componentes de $E$ desaparecen dentro de un conductor perfecto, da $\sigma = \epsilon_0 E$ en una superficie y $E\sigma = -\epsilon_0 E$ en el otro. Los conductores no son láminas infinitesimales.