Comprender la demostración de la fórmula de la suma de Poisson

Question

Consideremos una demostración de un libro de texto sobre Análisis armónico :

Tenga en cuenta que $\mathcal{S}()$ denota el espacio de Schwartz.

Pregunta 1: ¿Por qué la fórmula superior izquierda de la prueba empieza como:

$$ \int_0^1 \left( \sum_{m } \phi(x+m) \right) \mathrm{e}^{-2 \pi i n x} \,\mathrm{d}x? $$

¿No debería ser el integrando $\int_{-\infty}^{\infty}$ ?

Pregunta 2: ¿Qué justifica el salto de

$$ \sum_{m } \int_0^1 \phi(x+m) \mathrm{e}^{-2 \pi i n x} \,\mathrm{d}x = \sum_{m } \int_m^{m+1} (y) \mathrm{e}^{-2 \pi i n y} \,\mathrm{d}y ? $$

Answer 1

Elias Stein (famoso analista) cuenta una historia sobre este teorema (folclore que voy a liar). Dice (da nombres de al menos una de estas personas, pero no recuerdo sus nombres) que un profesor [de matemáticas] tiene una clase en la que está hablando con algunos de sus tres alumnos. Les pregunta a los alumnos: "Vale, dada una función de Schwartz, ¿cómo se puede obtener una función periódica?".

El alumno A dice: "Podemos tomar la transformada de Fourier $\hat{\phi}$ aplicarlo a números enteros obteniendo $\hat{\phi}(n)$ y luego formar la serie trigonométrica $\sum_{n \in \mathbb{Z}}\hat{\phi}(n)e^{2\pi i n x}$ ." El Profesor dice: "Bien".

El alumno B dice: "Podemos tomar la función $\phi$ y el valor en $x$ debe ser el valor obtenido sumando el valor de $\phi$ en todos los puntos de la recta real a una distancia entera de $x$ En $\sum_{n \in \mathbb{Z}}\phi(x+n)$ ." El Profesor responde bien.

El alumno C (que presumiblemente es Poisson), dice: "¡Los dos son buenos... y son iguales!".

Por lo tanto, lo que vemos que la idea es que empezamos con una función $\phi$ que es una función de Schwartz en la recta real. Creamos entonces una función periódica de período $1$ utilizando ambas fórmulas y el teorema dice que son iguales. Por lo tanto, cuando la prueba dice que sólo tiene que asegurarse de que tienen los mismos coeficientes de Fourier, está hablando de estas funciones periódicas que nos dieron tienen los mismos coeficientes de Fourier porque son continuas. Por eso en tu primera pregunta sólo están integrando en el intervalo $[0,1]$ .

Ambos son continuos porque $\phi$ al ser una función de Schwartz, decae más rápido que cualquier polinomio y lo mismo ocurre con su transformada de Fourier. En particular, existe una constante $C$ tal que $\hat{\phi}(n) \leq \frac{C}{n^2}$ y $|\phi(y)| \leq \frac{C}{(1+y)^2}$ para todos $n \in \mathbb{Z}$ y todos $y\in\mathbb{R}$ . Ambos de estos límites significa que la serie convergen uniformemente y por lo que las funciones periódicas que hicimos son continuas por lo que sus coeficientes de Fourier determinar qué función que son y podemos intercambiar la integral y la suma que se preguntaba.

Answer 2

Pregunta 1: Definir la función $f$ por $$ f(x) := \sum_{m\in\mathbb{Z}} \phi(x+m). $$ Observe que $$ f(x+1) = \sum_{m\in\mathbb{Z}} \phi((x+1)+m) = \sum_{m\in\mathbb{Z}} \phi( x + (m+1) ) = \sum_{m'\in\mathbb{Z}} \phi(x+m') = f(x), $$ donde $m' = m+1$ . Así $f$ es un $1$ -función periódica. Dado que $f$ es un $1$ -periódica, podemos calcular su $n$ -ésimo coeficiente de Fourier mediante la integración habitual, es decir $$ \hat{f}(n) = \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{e}^{-2\pi inx}\,\mathrm{d}x= \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{e}^{-2\pi inx}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \sum_{m\in\mathbb{Z}} \phi(x+m) \mathrm{e}^{-2\pi inx}\,\mathrm{d}x, $$ lo que responde a su primera pregunta.

Pregunta 2: Se trata de un cambio de variables bastante sencillo. Sea $y = x+m$ . Entonces (utilizando la abreviatura habitual) $\mathrm{d}y = \mathrm{d}x$ lo que nos da \begin{align} \sum_{m\in\mathbb{Z}} \int_{0}^{1} \phi(x+m) \mathrm{e}^{-2\pi inx} \,\mathrm{d}x &= \sum_{m\in\mathbb{Z}} \int_{m}^{m+1} \phi(y) \mathrm{e}^{-2\pi in(y-m)} \,\mathrm{d}y && (\text{change of variables}) \\ &= \sum_{m\in\mathbb{Z}} \int_{m}^{m+1} \phi(y)\, \mathrm{e}^{-2\pi iny}\mathrm{e}^{2\pi inm}\, \mathrm{d}y \\ &= \sum_{m\in\mathbb{Z}} \int_{m}^{m+1} \phi(y) \mathrm{e}^{-2\pi iny}\, \mathrm{d}y. && (\text{since $\mathrm{e}^{2\pi ik} = 1 \forall k\in\mathbb{Z}$}) \end{align} Esto parece responder a su segunda pregunta.

Answer 3

Es mucho más fácil que eso

consideremos la expansión en serie de fourier para la función 1-periódica

$$ \lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k} $$

y meter esto en la fórmula de la suma de Euler

y utilizar la fórmula de la suma de Euler más la integración por partes

$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n) = - \int_{-\infty}^{\infty}f'(x)\lfloor x] $$

y tienes la fórmula de la suma de Poisson, muy fácilmente

Answer 4

Esto iba a ser un comentario en respuesta a un comentario en la amable respuesta de Xander Henderson, pero se hizo demasiado largo.

El grupo abeliano $A = \{x\}$ del dominio de las funciones de valor complejo $f(x)$ que estamos pensando se entiende siempre en el contexto del problema, y entonces la transformada de Fourier $\mathcal F\colon f(x)\mapsto \hat f(\xi)$ se obtiene una función de valor complejo $\hat f(\xi)$ sobre el grupo "dual $\hat A = \{\xi\}$ .

También es muy común que los grupos abelianos $A$ y $\hat A$ tienen estructura topológica (porque queremos hablar de convergencia), o en otras palabras una noción de "conjuntos abiertos", y por lo general bastante descriptiva (a menudo se supone que son localmente compactos, además de Hausdorff), o incluso estructura suave si queremos estudiar la relación entre el operador $\mathcal F$ y operadores diferenciales, o utilizar dicha relación como (una colección de) herramientas para otra cosa en la que estemos trabajando.

Al pasar de una función que decae rápidamente $f(x)$ en $\mathbb R$ a su periodización, $f_{per}(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(x-n)$ (digamos como herramienta para demostrar la fórmula de la suma de Poisson, por ejemplo), consideramos $f_{per}(x)$ como función en el círculo ( $S^1$ ). Entonces tenemos que tener en cuenta que aunque

• $\hat{\mathbb R} = \mathbb R$ Por lo tanto $\hat f(\xi)$ es función de $\xi\in\mathbb R$
• $\hat{S^1} = \mathbb Z$ Así que $\hat{f_{per}}(\xi)$ es función de $\xi\in \mathbb Z$ . Así que solemos utilizar la variable psicológicamente conveniente $n$ en lugar de $\xi$ y escribe $\hat{f_{per}}(n)$ .